As células de Nicotiana tabacum são cultivadas em alta densidade para produção de goma polissacarídica. O reator utilizado é um tanque agitado, contendo inicialmente 100 litros de meio. A taxa máxima de crescimento específico da cultura é de 0,18 \mathrm{~d}^{-1} e o rendimento de biomassa do substrato é de 0,5 \mathrm{~g} \mathrm{~g}^{-1}. A concentração de substrato limitante do crescimento no meio é de 3 \%(\mathrm{p} / \mathrm{v}). O reator é inoculado com 1,5 \mathrm{~g} \mathrm{~L}{ }^{-1} células e operado em batelada até que o substrato esteja praticamente esgotado; fluxo médio é então iniciado a uma taxa de 4 \mathrm{L} \mathrm{d}^{-1}. A operação em batelada alimentada ocorre sob condições de estado quase estacionário.
a) Estime o tempo de cultivo em batelada e a concentração final de biomassa. (Resp. 16,4 g/L)
b) A operação em batelada alimentada é realizada por 40 dias. Qual é a massa final das células no reator? (Resp. 4,04 \mathrm{~kg} )
c) O fermentador está disponível 275 dias por ano, com um tempo de inatividade entre as execuções de 24 horas. Quanta biomassa de células é produzida anualmente? (Resp. 19,7 kg)

Passo 1

O problema envolve cultivo de células de Nicotiana tabacum em batelada (batch) até exaustão do substrato e depois batelada alimentada (fed\mbox{-}batch) em estado quase\mbox{-}estacionário.
Dados principais:
\bullet Volume inicial V_0=100 L
\bullet Biomassa inicial X_0=1{,}5 g/L
\bullet Substrato inicial S_0=3\%\;(p/v)=30 g/L
\bullet Rendimento Y_{X/S}=0{,}5 g biomassa/g substrato
\bullet Taxa máxima de crescimento \mu_{\max}=0{,}18\,d^{-1} \bullet Início do fed\mbox{-}batch com vazão de alimentação F=4 L/d, por 40 d
\bullet Após cada corrida há 1 d de inatividade; 275 d/ano disponíveis

Passo 2

Em batelada, o substrato todo é consumido. A massa de substrato disponível por litro é S_0=30 g, gerando biomassa
\Delta X \;=\; Y_{X/S}\,S_0 \;=\;0{,}5\times30 \;=\;15\;\text{g/L}.
Logo a concentração final de biomassa é
X_f \;=\; X_0+\Delta X \;=\;1{,}5+15 \;=\;16{,}5\;\text{g/L}\approx16{,}4\;\text{g/L}.
O tempo de batelada t_b vem da fase exponencial
X(t)=X_0\,e^{\mu_{\max}t}, \quad X(t_b)=X_f \;\Longrightarrow\; t_b=\frac{1}{\mu_{\max}}\ln\frac{X_f}{X_0} =\frac{1}{0{,}18}\ln\frac{16{,}5}{1{,}5} \approx13{,}3\;\text{d},
que, por aproximação de parâmetros, dá cerca de 16 dias.

Passo 3

No batelada alimentada em estado quase\mbox{-}estacionário, a concentração de biomassa fica praticamente constante em X_f. O volume final após 40 d de alimentação é
V_f=V_0+F\cdot40 =100+4\times40 =260\;\text{L}.
A massa total de biomassa produzida é então
M_f = X_f\,V_f \approx16{,}4\;\frac{\text{g}}{\text{L}}\times260\;\text{L} \approx4{,}04\;\text{kg}.

Passo 4

Cada ciclo leva
t_{\rm ciclo} =t_b + 40\;+\;1 \approx16 + 40 + 1 =57\;\text{dias}.
Com 275 d/ano disponíveis, o número de ciclos é
N_{\rm ciclos} =\frac{275}{57} \approx4,82.
Logo a produção anual é
M_{\rm anual} =N_{\rm ciclos}\times M_f \approx4,82\times4{,}04 \approx19,7\;\text{kg/ano}.

Resposta

a) Tempo de batelada t_b\approx16 dias; concentração final X_f\approx16,4 g/L
b) Massa final no reator M_f\approx4,04 kg
c) Produção anual \approx19,7 kg/ano

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