Lactobacilus casei é propagado em condições essencialmente anaeróbias para fornecer uma cultura iniciadora para a fabricação de queijo suíço. A cultura produz ácido láctico como subproduto do metabolismo energético. O sistema tem as seguintes características: \mathrm{Y}_{\mathrm{xs}}= 0,23 \mathrm{~kg} \mathrm{~kg}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=0,15 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} ; \mu_{\text {máx }}=0,35 \mathrm{~h}^{-1} ; \mathrm{ms}^{=} 0,135 \mathrm{~kg} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}á; Um fermentador agitado é operado em modo de lote alimentado em estado quase estacionário com uma vazão
de alimentação de 4 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~h}^{-1} e concentração de substrato de alimentação de 80 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}. Após 6 h , o volume líquido é de 40 \mathrm{~m}^{3}.
a) Qual era o volume inicial da cultura? (Resp. 16 \mathrm{~m}^{3} )
b) Qual é a concentração de substrato no estado quase estacionário? (Resp. 0,06 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )
c) Qual é a concentração de células no estado quase estacionário? (Resp. 14 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )
d) Que massa de células é produzida após 6 h de operação em lote alimentado? (Resp. 336 kg)

Passo 1

O enunciado descreve um fermentador operado em modo lote alimentado (fed-batch) com vazão de alimentação \,F=4\,\mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1} e concentração de substrato de alimentação \,S_{\mathrm{in}}=80\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}. Após t=6\,\mathrm{h} o volume é V=40\,\mathrm{m}^3. Os parâmetros cinéticos são
Y_{xs}=0,23\,\mathrm{kg}\,\mathrm{kg}^{-1},\quad K_s=0,15\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3},\quad \mu_{\max}=0,35\,\mathrm{h}^{-1},\quad m_s=0,135\,\mathrm{kg}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{h}^{-1}.
Precisamos achar:
a) volume inicial;
b) concentração de substrato em estado quase estacionário;
c) concentração de células em estado quase estacionário;
d) massa de células produzida em 6 h.

Passo 2

Para a parte (a) usamos o balanço de volume no fed-batch:
\frac{dV}{dt}=F \quad\Longrightarrow\quad V(t)=V_0+F\,t.
Em t=6\,\mathrm{h} temos V(6)=V_0+4\cdot6=40, logo
V_0=40-24=16\;\mathrm{m}^3.

Passo 3

No estado quase estacionário assume-se \frac{dX}{dt}\approx0 e \frac{dS}{dt}\approx0. Da equação de biomassa \frac{dX}{dt}=(\mu-D)X=0 segue
\mu=D=\frac{F}{V}=\frac{4}{40}=0,1\;\mathrm{h}^{-1}.
Aplicando Monod:
\mu=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_s+S} \quad\Longrightarrow\quad 0,1=0,35\frac{S}{0,15+S}
Resolve-se para S:
0,1(0,15+S)=0,35S \quad\Longrightarrow\quad 0,015+0,1S=0,35S \quad\Longrightarrow\quad 0,015=0,25S \quad\Longrightarrow\quad S=0,06\;\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.

Passo 4

Para achar X usamos o balanço de substrato em regime estacionário:
0=D\bigl(S_{\mathrm{in}}-S\bigr)-\frac{\mu}{Y_{xs}}\,X-m_s\,X.
Substituindo \mu=D=0,1, S_{\mathrm{in}}=80 e S=0,06:
0,1\,(80-0,06)=X\Bigl(\frac{0,1}{0,23}+0,135\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad X=\frac{0,1\cdot79,94}{0,1/0,23+0,135}\approx14\;\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.

Passo 5

Em regime quase estacionário a concentração de células fica constante em X=14\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}. A massa de células acumulada é dada pelo incremento de volume vezes essa concentração:
\Delta M_X = X\,(V_{\mathrm{final}}-V_0) =14\,(40-16)=14\cdot24=336\;\mathrm{kg}.

Resposta

a) 16\;\mathrm{m}^3
b) 0,06\;\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}
c) 14\;\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}
d) 336\;\mathrm{kg}

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