5.7 (Çengel) Uma mangueira de jardim ligada a um bocal é usada para encher um balde de 20 galões. O diâmetro interno da mangueira é de 1 in e se reduz a 0,5 in na saída do bocal. Se a velocidade média da mangueira for de
, determine (a) as vazões de massa e volume da água através da mangueira, (b) quanto tempo será necessário para encher o balde com água e (c) a velocidade média da água na saída do bocal.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece estes dados (vou listar com clareza para não se perder):
- Perguntas:
(a) determinar as vazões de massa e de volume da água através da mangueira;
(b) quanto tempo é necessário para encher um balde degalões;
(c) determinar a velocidade média da água na saída do bocal. - Dados fornecidos:
- diâmetro interno da mangueira:
; - diâmetro da saída do bocal:
; - velocidade média na mangueira:
.
- diâmetro interno da mangueira:
- Constantes e conversões que vou usar (valores padrão):
-
; -
; - densidade da água:
(padrão em unidades inglesas).
Nada será assumido além disso; a resolução parte desses números.
-
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as áreas de seção reta (círculos) da mangueira e do bocal. A fórmula da área de um círculo em função do diâmetro é
onde
é a área (unidade de comprimento ao quadrado) e
é o diâmetro. Aqui sempre coloque o valor de
na mesma unidade (usar pés facilita, já que
está em
).
Converto os diâmetros para pés:
Agora aplico a fórmula da área separadamente para cada seção (vou escrever uma conta limpa):
Observação didática rápida: como
, tem-se
. Pra lembrar: área escala com o quadrado do diâmetro.
Passo 3
Agora a vazão volumétrica
(volume por tempo) é simplesmente a área vezes a velocidade média na seção, para um escoamento incompressível e permanente a mesma vazão vale em qualquer seção. A fórmula é
Aqui a velocidade dada
é a velocidade média na mangueira, então
Explicando o que isso significa: todo segundo passam aproximadamente
pés cúbicos de água pela seção da mangueira. Para ver mais intuitivamente,
é cerca de
se quiser comparar com vazões por minuto (só uma observação).
Passo 4
Vazão de massa
: é a massa que passa por unidade de tempo e está ligada à vazão volumétrica pela densidade:
onde
é a densidade (massa por volume). Substituindo:
Interpretação: cerca de
libras-massa de água passam por segundo. (Se preferir em kg/s, pode converter usando
, mas aqui mantivemos unidades inglesas.)
Passo 5
Agora o tempo para encher o balde de
galões. Primeiro converter o volume do balde para pés cúbicos:
O tempo necessário
é o volume dividido pela vazão volumétrica:
Comentário amigável: isso dá cerca de
minutos — rapidinho, mas agora você sabe exatamente quanto.
Passo 6
Velocidade média na saída do bocal
. Como o escoamento é incompressível e estacionário, a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção:
Usando
(visto antes) resulta em
Verificação direta com números:
Explicando em linguagem de prova: reduzir o diâmetro pela metade aumenta a velocidade por um fator
para manter a mesma vazão volumétrica.
Passo 7
Resumo numérico e checagens rápidas (sem desenvolvimento): as contas são consistentes entre si (continuidade satisfeita e unidades coerentes). Se estiver na prova, anote as fórmulas usadas (área,
,
, e continuidade) e faça as conversões de unidades com calma — cortar cantos aqui costuma gerar erro.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)