5.7 (Çengel) Uma mangueira de jardim ligada a um bocal é usada para encher um balde de 20 galões. O diâmetro interno da mangueira é de 1 in e se reduz a 0,5 in na saída do bocal. Se a velocidade média da mangueira for de 8 \mathrm{ft} / \mathrm{s}, determine (a) as vazões de massa e volume da água através da mangueira, (b) quanto tempo será necessário para encher o balde com água e (c) a velocidade média da água na saída do bocal.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece estes dados (vou listar com clareza para não se perder):
  • Perguntas:
    (a) determinar as vazões de massa e de volume da água através da mangueira;
    (b) quanto tempo é necessário para encher um balde de 20 galões;
    (c) determinar a velocidade média da água na saída do bocal.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro interno da mangueira: D_1 = 1\\ \text{in};
    • diâmetro da saída do bocal: D_2 = 0{,}5\\ \text{in};
    • velocidade média na mangueira: V_1 = 8\\ \mathrm{ft/s}.
  • Constantes e conversões que vou usar (valores padrão):
    • 1\\ \text{in} = \dfrac{1}{12}\\ \text{ft};
    • 1\\ \text{gal (EUA)} = 0{,}133681\\ \mathrm{ft^3};
    • densidade da água: \rho = 62{,}4\\ \mathrm{lbm/ft^3} (padrão em unidades inglesas).
      Nada será assumido além disso; a resolução parte desses números.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as áreas de seção reta (círculos) da mangueira e do bocal. A fórmula da área de um círculo em função do diâmetro é
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área (unidade de comprimento ao quadrado) e D é o diâmetro. Aqui sempre coloque o valor de D na mesma unidade (usar pés facilita, já que V_1 está em \mathrm{ft/s}).
Converto os diâmetros para pés:
D_1=\frac{1}{12}\\ \text{ft}=0{,}083333\\ \text{ft}, \qquad D_2=\frac{0{,}5}{12}\\ \text{ft}=0{,}0416667\\ \text{ft}.
Agora aplico a fórmula da área separadamente para cada seção (vou escrever uma conta limpa):
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{12}\right)^2=\frac{\pi}{576}\approx 0{,}00545415\\ \mathrm{ft^2}.
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{24}\right)^2=\frac{\pi}{2304}\approx 0{,}00136354\\ \mathrm{ft^2}.
Observação didática rápida: como D_2 = \tfrac{1}{2}D_1, tem-se A_2=(D_2/D_1)^2 A_1 = (0{,}5)^2 A_1 = 0{,}25 A_1. Pra lembrar: área escala com o quadrado do diâmetro.

Passo 3

Agora a vazão volumétrica \dot{V} (volume por tempo) é simplesmente a área vezes a velocidade média na seção, para um escoamento incompressível e permanente a mesma vazão vale em qualquer seção. A fórmula é
\dot{V}=A\,V.
Aqui a velocidade dada \,V_1\, é a velocidade média na mangueira, então
\dot{V}=A_1 V_1 = 0{,}00545415\\ \mathrm{ft^2}\times 8\\ \mathrm{ft/s}=0{,}0436332\\ \mathrm{ft^3/s}.
Explicando o que isso significa: todo segundo passam aproximadamente 0{,}04363 pés cúbicos de água pela seção da mangueira. Para ver mais intuitivamente, 0{,}04363\\ \mathrm{ft^3/s} é cerca de 0{,}04363\times 60\approx 2{,}618\\ \mathrm{ft^3/min} se quiser comparar com vazões por minuto (só uma observação).

Passo 4

Vazão de massa \dot{m}: é a massa que passa por unidade de tempo e está ligada à vazão volumétrica pela densidade:
\dot{m}=\rho\,\dot{V},
onde \rho é a densidade (massa por volume). Substituindo:
\dot{m}=62{,}4\\ \mathrm{lbm/ft^3}\times 0{,}0436332\\ \mathrm{ft^3/s}=2{,}7227\\ \mathrm{lbm/s}.
Interpretação: cerca de 2{,}72 libras-massa de água passam por segundo. (Se preferir em kg/s, pode converter usando 1\\ \mathrm{lbm}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg}, mas aqui mantivemos unidades inglesas.)

Passo 5

Agora o tempo para encher o balde de 20 galões. Primeiro converter o volume do balde para pés cúbicos:
V_{\text{balde}}=20\\ \text{gal}\times 0{,}133681\\ \frac{\mathrm{ft^3}}{\text{gal}}=2{,}67362\\ \mathrm{ft^3}.
O tempo necessário t é o volume dividido pela vazão volumétrica:
t=\frac{V_{\text{balde}}}{\dot{V}}=\frac{2{,}67362\\ \mathrm{ft^3}}{0{,}0436332\\ \mathrm{ft^3/s}}=61{,}31\\ \mathrm{s}.
Comentário amigável: isso dá cerca de 1{,}02 minutos — rapidinho, mas agora você sabe exatamente quanto.

Passo 6

Velocidade média na saída do bocal V_2. Como o escoamento é incompressível e estacionário, a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção:
\dot{V}=A_1 V_1 = A_2 V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2=\frac{A_1}{A_2}V_1.
Usando A_2=0{,}25 A_1 (visto antes) resulta em
V_2=\frac{A_1}{0{,}25A_1}V_1=4V_1=4\times 8\\ \mathrm{ft/s}=32\\ \mathrm{ft/s}.
Verificação direta com números:
V_2=\frac{\dot{V}}{A_2}=\frac{0{,}0436332\\ \mathrm{ft^3/s}}{0{,}00136354\\ \mathrm{ft^2}}=32{,}0\\ \mathrm{ft/s}.
Explicando em linguagem de prova: reduzir o diâmetro pela metade aumenta a velocidade por um fator 1/(0{,}5)^2=4 para manter a mesma vazão volumétrica.

Passo 7

Resumo numérico e checagens rápidas (sem desenvolvimento): as contas são consistentes entre si (continuidade satisfeita e unidades coerentes). Se estiver na prova, anote as fórmulas usadas (área, \dot V=AV, \dot m=\rho\dot V, e continuidade) e faça as conversões de unidades com calma — cortar cantos aqui costuma gerar erro.

Resposta

(a) \dot{V}=0{,}0436332\\ \mathrm{ft^3/s},\\ \dot{m}=2{,}7227\\ \mathrm{lbm/s}
(b) t=61{,}31\\ \mathrm{s}
(c) V_2=32{,}0\\ \mathrm{ft/s}

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