5.65E (Çengel) A velocidade do ar em um duto é medida por uma sonda estática de Pitot conectada a um medidor manométrico de pressão diferencial. Se o ar está a 13,4 psia absoluta e 70^{\circ} \mathrm{F}, e a leitura da pressão manométrica diferencial é de 0,15 \mathrm{psi}, determine a velocidade do ar.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do ar medida por uma sonda de Pitot (diferença de pressão manométrica dada). Dados fornecidos:
  • Pressão absoluta do ar: \,p=13{,}4\\ \text{psia}.
  • Temperatura do ar: \,T=70^\circ\mathrm{F}.
  • Leitura da pressão diferencial (manométrica): \,\Delta p=0{,}15\\ \text{psi}.
O objetivo é usar esses dados para calcular a velocidade do ar V. Aqui vamos precisar:
  • Converter unidades para um sistema consistente (usar unidades inglesas correntes: \text{lb/ft}^2,\\ \text{ft/s},\\ \text{slug/ft}^3).
  • Calcular a densidade do ar \rho a partir da equação dos gases perfeitos.
  • Usar a relação de Pitot (pressão dinâmica) para obter V.

Passo 2

Explicando a fórmula principal (intuitivamente e passo a passo):
Uma sonda de Pitot mede a diferença entre a pressão total (estagnação) e a pressão estática; essa diferença é a pressão dinâmica, que para velocidades não muito altas (fluxo essencialmente incompressível) satisfaz:
\Delta p = \frac{1}{2}\,\rho\,V^{2}.
Aqui:
  • \Delta p é a pressão diferencial medida (unidades de pressão),
  • \rho é a densidade do fluido (unidades de massa/volume),
  • V é a velocidade (unidades de comprimento/tempo).
Invertendo a fórmula para V:
V = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho}}.
Portanto precisamos de \rho. Para o ar, usamos a equação dos gases ideais no formato
\rho = \dfrac{p}{R\,T},
onde:
  • p é a pressão absoluta do gás (unidades consistentes com R),
  • R é a constante específica do ar,
  • T é a temperatura absoluta (escala Rankine em sistema inglês).

Passo 3

Converter unidades e constantes (detalhadamente):
  1. Converter pressão absoluta de \text{psia} para \text{lb/ft}^2:
1\\ \text{psi} = 144\\ \text{lb/ft}^2.
Logo
p = 13{,}4\\ \text{psia} = 13{,}4\times144 = 1929{,}6\\ \text{lb/ft}^2.
  1. Converter a temperatura de ^\circ\mathrm{F} para Rankine:
T(\text{R}) = T(^{\circ}\mathrm{F}) + 459{,}67.
Logo
T = 70 + 459{,}67 = 529{,}67\\ \text{R}.
  1. Constante específica do ar em unidades inglesas:
R = 1716\\ \dfrac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{slug}\cdot\text{R}}.
Observação sobre unidades: \text{lbf} = \text{slug}\cdot\text{ft/s}^2, de modo que R tem efetivamente dimensão \text{ft}^2/\text{s}^2/\text{R} quando usado em \rho = p/(R T).
  1. Calcular a densidade:
\rho = \dfrac{p}{R\,T} = \dfrac{1929{,}6}{1716\times529{,}67}\\ \text{slug/ft}^3.
Agora a conta (mostrando o produto do denominador):
1716\times529{,}67 = 908\,913{,}72.
Portanto
\rho = \dfrac{1929{,}6}{908\,913{,}72} \approx 0{,}00212257\\ \text{slug/ft}^3.

Passo 4

Converter a pressão diferencial para \text{lb/ft}^2 e aplicar a fórmula de Pitot:
Converter \Delta p:
\Delta p = 0{,}15\\ \text{psi} = 0{,}15\times144 = 21{,}6\\ \text{lb/ft}^2.
Aplicar
V = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho}} = \sqrt{\dfrac{2\times21{,}6}{0{,}00212257}}.
Calcular o radicando:
\dfrac{2\times21{,}6}{0{,}00212257} = \dfrac{43{,}2}{0{,}00212257} \approx 20\,353{,}2.
Logo
V \approx \sqrt{20\,353{,}2} \approx 142{,}7\\ \text{ft/s}.

Passo 5

Converter a velocidade para unidades do SI (m/s) para referência:
Usando 1\\ \text{ft} = 0{,}3048\\ \text{m},
V = 142{,}7\\ \text{ft/s}\times0{,}3048 \approx 43{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida sobre compressibilidade (para ver se a aproximação \Delta p=\tfrac12\rho V^2 é válida):
Velocidade do som em ar é \,a=\sqrt{\gamma R T} com \gamma=1{,}4. Calculando rapidamente:
a \approx \sqrt{1{,}4\times1716\times529{,}67}\approx1128\\ \text{ft/s}.
Mach:
M=\dfrac{V}{a}\approx\dfrac{142{,}7}{1128}\approx0{,}13.
Como M\ll0{,}3, o fluxo é praticamente incompressível e a fórmula de Pitot usada é adequada.

Passo 7

Resumo numérico final (arredondamento razoável e unidades):
  • \,V\approx142{,}7\\ \text{ft/s}.
  • \,V\approx43{,}5\\ \text{m/s}.
Força extra de incentivo: você já fez o essencial — transformar unidades, calcular densidade e aplicar a fórmula direta. Com esse passo a passo você resolve rápido na prova. Vai dar certo!

Resposta

V = 142{,}7\\ \text{ft/s}
V = 43{,}5\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados