3-(1,5 ponto) Uma placa plana infinita move-se sobre uma segunda placa fixa, com uma cam óleo entre elas, A viscosidade dinâmica do óleo é \mu=0,0025 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, e a distância entre as placas é d=1,92 \mathrm{~mm}. O perfil de velocidades no escoamento é dado por u(y)=5237 y-1,36 \times 10^{6} y^{2}, onde u está \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} e y em metros. Determine a tensão de cisalhamento na posição junto à placa superion

Passo 1

O enunciado pede que se determine a tensão de cisalhamento junto à placa superior. As informações fornecidas são:
  • viscosidade dinâmica: \mu=0{,}0025\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}};
  • distância entre as placas: d=1{,}92\\ \mathrm{mm}=1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{m};
  • perfil de velocidades: u(y)=5237\,y-1{,}36\times10^{6}\,y^{2}, com u em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
    A incógnita é a tensão de cisalhamento no fluido imediatamente junto à placa superior (ou seja, avaliada no ponto do fluido que está ao lado da placa superior).

Passo 2

Entender qual fórmula usar (explicação didática breve):
  • Para um fluido newtoniano a relação local entre tensão de cisalhamento \tau e o gradiente de velocidade é
\tau(y)=\mu\,\frac{du}{dy},
onde \tau(y) é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}} ou \mathrm{Pa}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{N\cdot s/m^{2}}) e \dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação a y (unidade \mathrm{s^{-1}}). Essa fórmula diz, em palavras simples, que a tensão de cisalhamento é proporcional à inclinação do perfil de velocidade: quanto mais rápido muda a velocidade com y, maior a tensão de cisalhamento.

Passo 3

Calcular a derivada do perfil de velocidade (passo a passo e lembrando regras de derivação de polinômios):
u(y)=5237\,y-1{,}36\times10^{6}\,y^{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{du}{dy}=5237-2\cdot\bigl(1{,}36\times10^{6}\bigr)\,y.
Multiplicando o coeficiente:
2\cdot\bigl(1{,}36\times10^{6}\bigr)=2{,}72\times10^{6},
portanto
\frac{du}{dy}=5237-\bigl(2{,}72\times10^{6}\bigr)\,y.

Passo 4

Avaliar \dfrac{du}{dy} junto à placa superior. Como a distância entre placas é d, o ponto do fluido junto à placa superior corresponde a y=d=1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Substituindo:
\frac{du}{dy}\Bigg|_{y=d}=5237-\bigl(2{,}72\times10^{6}\bigr)\cdot\bigl(1{,}92\times10^{-3}\bigr).
Calcular o produto:
\bigl(2{,}72\times10^{6}\bigr)\cdot\bigl(1{,}92\times10^{-3}\bigr)=(2{,}72\cdot1{,}92)\times10^{6-3}=5{,}2224\times10^{3}=5222{,}4.
Logo
\frac{du}{dy}\Bigg|_{y=d}=5237-5222{,}4=14{,}6\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Interpretação curta: o gradiente de velocidade junto à placa superior é \,14{,}6\\ \mathrm{s^{-1}}\,.)

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento usando \tau=\mu\,\dfrac{du}{dy}. Substituindo \mu=0{,}0025\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} e o gradiente encontrado:
\tau\Big|_{y=d}=0{,}0025\cdot14{,}6.
Fazendo a multiplicação:
\tau\Big|_{y=d}=0{,}0365\\ \mathrm{N/m^{2}}=0{,}0365\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: a tensão de cisalhamento junto à placa superior tem magnitude pequena, \,0{,}0365\\ \mathrm{Pa}. Isso significa que, com esse perfil de velocidade e essa viscosidade, as forças tangenciais por unidade de área próximas à placa superior são bem pequenas — nada incomum para um óleo fino e velocidades moderadas. Vai dar tudo certo na prova — lembre que o procedimento padrão é sempre derivar o perfil e multiplicar por \mu.

Resposta

0{,}0365\\ \mathrm{Pa}

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