3-(1,5 ponto) Uma placa plana infinita move-se sobre uma segunda placa fixa, com uma cam óleo entre elas, A viscosidade dinâmica do óleo é \mu=0,0025 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, e a distância entre as placas é d=1,92 \mathrm{~mm}. O perfil de velocidades no escoamento é dado por u(y)=5237 y-1,36 \times 10^{6} y^{2}, onde u está \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} e y em metros. Determine a tensão de cisalhamento na posição junto à placa superion
Passo 1
O enunciado pede que se determine a tensão de cisalhamento junto à placa superior. As informações fornecidas são:
distância entre as placas: d=1{,}92\\ \mathrm{mm}=1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{m};
perfil de velocidades: u(y)=5237\,y-1{,}36\times10^{6}\,y^{2}, com u em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}.
A incógnita é a tensão de cisalhamento no fluido imediatamente junto à placa superior (ou seja, avaliada no ponto do fluido que está ao lado da placa superior).
Passo 2
Entender qual fórmula usar (explicação didática breve):
Para um fluido newtoniano a relação local entre tensão de cisalhamento \tau e o gradiente de velocidade é
\tau(y)=\mu\,\frac{du}{dy},
onde \tau(y) é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}} ou \mathrm{Pa}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{N\cdot s/m^{2}}) e \dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação a y (unidade \mathrm{s^{-1}}). Essa fórmula diz, em palavras simples, que a tensão de cisalhamento é proporcional à inclinação do perfil de velocidade: quanto mais rápido muda a velocidade com y, maior a tensão de cisalhamento.
Passo 3
Calcular a derivada do perfil de velocidade (passo a passo e lembrando regras de derivação de polinômios):
Avaliar \dfrac{du}{dy} junto à placa superior. Como a distância entre placas é d, o ponto do fluido junto à placa superior corresponde a y=d=1{,}92\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Substituindo:
Interpretação final curta e incentivo: a tensão de cisalhamento junto à placa superior tem magnitude pequena, \,0{,}0365\\ \mathrm{Pa}. Isso significa que, com esse perfil de velocidade e essa viscosidade, as forças tangenciais por unidade de área próximas à placa superior são bem pequenas — nada incomum para um óleo fino e velocidades moderadas. Vai dar tudo certo na prova — lembre que o procedimento padrão é sempre derivar o perfil e multiplicar por \mu.