Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
num minuto não haja nenhum chamado?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma única coisa.
  • Informação dada:
    • Chegam 300 telefonemas por hora na central.
  • Pergunta:
    • Qual é a probabilidade de que, num minuto, não haja nenhum chamado?

Passo 2

Modelagem do problema (explicação didática do que vamos usar).
  • Para contar quantos eventos (telefonemas) ocorrem em um intervalo de tempo fixo, quando os eventos são raros, independentes e ocorrem com taxa média constante, o modelo adequado é a distribuição de Poisson.
  • Definimos a variável aleatória X = \text{número de telefonemas em 1 minuto}.ú
  • Dizemos que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, escrito X\sim\text{Poisson}(\lambda), onde:
    • \lambda é a média (ou taxa) esperada de ocorrências no intervalo considerado (aqui: por minuto);
    • k representa um número inteiro não negativo (o número de eventos que queremos a probabilidade de observar).
  • A fórmula da probabilidade para X é P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},onde k!=1\cdot2\cdot3\cdots k (e por convenção 0!=1).

Passo 3

Converter a taxa dada para o intervalo pedido.
  • Foi dado 300 telefonemas por hora. Como queremos a probabilidade em um minuto, convertemos a taxa hora → minuto: \lambda = \frac{300\\ \text{telefonemas}}{60\\ \text{minutos}}=\;5\\ \text{telefonemas por minuto}.
  • Portanto vamos usar X\sim\text{Poisson}(\lambda=5).

Passo 4

Aplicar a fórmula da Poisson para k=0 (nenhum chamado).
  • Substituindo k=0 e \lambda=5 na fórmula: P(X=0)=\frac{5^{0}e^{-5}}{0!}.
  • Como 5^{0}=1 e 0!=1, isso simplifica para P(X=0)=e^{-5}.

Passo 5

Calcular a aproximação numérica e interpretar.
  • Sabendo que e^{5}\approx148{,}413159\ldots, então e^{-5}=\frac{1}{e^{5}}\approx\frac{1}{148{,}413159}\approx0{,}0067379.
  • Interpretação: a probabilidade de não chegar nenhum telefonema em um minuto, quando a média é 5 por minuto, é cerca de 0{,}67379\% (menos de 1\%). Isso faz sentido: com média 5 por minuto, é raro não chegar nenhum.

Resposta

P(X=0)=e^{-5}\approx0{,}0067379

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