Os dados da tabela abaixo representam o número de acidentes relacionados a uma empresa com dez construções em andamento durante os anos de 2016 e 2017.
Ano Número de acidentes
2016(\mathrm{x}) 9 15 10 18 12 14 8 17 18 9
2017(\mathrm{y}) 11 0 10 11 9 8 5 10 15 7
\sum_{i=1}^{10} x_{i}=130 ; \quad \sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=1828 ; \quad \sum_{i=1}^{10} y_{i}=86 ; \quad \sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2}=886 ; \quad \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i}=1160
Calcule o coeficiente de correlação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente de correlação entre as contagens de acidentes nos anos de 2016 e 2017, usando os dados agregados fornecidos. As informações relevantes dadas são (peguei estes números do enunciado):
  • Número de observações: n=10.
  • Soma das x_i (2016): \sum_{i=1}^{10} x_{i}=130.
  • Soma dos quadrados de x_i: \sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=1828.
  • Soma das y_i (2017): \sum_{i=1}^{10} y_{i}=86.
  • Soma dos quadrados de y_i: \sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2}=886.
  • Soma dos produtos: \sum_{i=1}^{10} x_{i}y_{i}=1160.
O que se pede: calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson entre x e y.

Passo 2

Apresentar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson (forma baseada nas somas fornecidas). Esta fórmula é muito usada quando se tem as somas totais em vez dos valores individuais:
r=\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}\right)}{\sqrt{\left(n\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\right)\left(n\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}\right)^{2}\right)}}.
Explicando cada termo de forma simples:
  • n é o número de pares (x_i,y_i).
  • \sum x_i e \sum y_i são as somas das observações (fornecidas).
  • \sum x_i^2 e \sum y_i^2 são as somas dos quadrados (fornecidas).
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos (fornecida).
    O numerador mede a covariância bruta entre x e y; o denominador normaliza pela variabilidade de cada variável para que r fique entre -1 e 1.

Passo 3

Calcular o numerador da fórmula usando os valores dados:
\text{Numerador}=n\sum x_{i}y_{i}-\left(\sum x_{i}\right)\left(\sum y_{i}\right).
Substituindo:
\text{Numerador}=10\cdot1160 - 130\cdot86.
Fazendo as contas:
10\cdot1160=11600, \qquad 130\cdot86=130\cdot(80+6)=10400+780=11180.
Portanto
\text{Numerador}=11600-11180=420.

Passo 4

Calcular o primeiro fator do denominador, correspondente à variância (escalada) de x:
A=n\sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}.
Substituindo:
A=10\cdot1828 - 130^{2}.
Fazendo as contas:
10\cdot1828=18280, \qquad 130^{2}=16900,
logo
A=18280-16900=1380.

Passo 5

Calcular o segundo fator do denominador, correspondente à variância (escalada) de y:
B=n\sum y_{i}^{2}-\left(\sum y_{i}\right)^{2}.
Substituindo:
B=10\cdot886 - 86^{2}.
Fazendo as contas:
10\cdot886=8860, \qquad 86^{2}=7396,
logo
B=8860-7396=1464.

Passo 6

Calcular o produto A\cdot B e a raiz quadrada que aparece no denominador:
A\cdot B=1380\cdot1464.
Podemos calcular assim:
1380\cdot1464=2\,020\,320.
Então o denominador é
\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{2\,020\,320}.
Para aproximar a raiz quadrada, usamos uma estimação por linearização (ou observando quadrados próximos):
  • 1421^{2}=2\,019\,241,
  • 1422^{2}=2\,022\,084.
    A diferença 2\,020\,320-2\,019\,241=1\,079. Aproximação pela fórmula linear:
\sqrt{2\,020\,320}\approx 1421 + \frac{1\,079}{2\cdot1421}\approx 1421+\frac{1\,079}{2842}\approx 1421+0,380\approx 1421,380.

Passo 7

Calcular r dividindo o numerador pela raiz encontrada:
r=\frac{420}{\sqrt{2\,020\,320}}\approx\frac{420}{1421,380}\approx 0,2955\ldots
Arredondando para três casas decimais (vírgula como separador decimal):
r\approx 0,296.
Interpretação breve e empática: o valor r\approx 0,296 indica uma correlação positiva fraca a moderada entre o número de acidentes em 2016 e em 2017 — ou seja, locais com mais acidentes em 2016 tendem a ter um pouco mais em 2017, mas a associação não é forte. Força e significado estatístico dependem também de testes adicionais, mas para a prova normalmente basta reportar este r e comentar o sinal e a intensidade.

Resposta

r\approx 0,296

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