Suponha que você seja um engenheiro responsável por analisar a profundidade de uma camada geológica em uma determinada região. A profundidade da camada segue uma distribuição uniforme contínua entre 50 metros e 100 metros.
Qual a profundidade média da camada geológica nesta área?

Passo 1

O enunciado dá que a profundidade da camada é uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua no intervalo entre 50 metros e 100 metros. A pergunta é: qual a profundidade média da camada nessa área?
Informações do enunciado:
  • Limite inferior do intervalo: a = 50 (metros).
  • Limite superior do intervalo: b = 100 (metros).
  • Quer-se o valor esperado (média) da profundidade.

Passo 2

Vamos apresentar a definição que usamos aqui (sem pressão, eu explico devagar). Para uma variável aleatória X\) com distribuição uniforme contínua no intervalo \([a,b]\), a função densidade de probabilidade (pdf) é constante dentro do intervalo e zero fora. Escrevemos: \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Explicando as letras:
  • x\] representa um valor possível da profundidade (em metros). - \(a é o menor valor possível da profundidade (aqui 50).
    - b é o maior valor possível (aqui 100).
    - f(x) é a densidade — como a distribuição é uniforme, f(x) é igual em todo o intervalo e igual a \dfrac{1}{b-a}.
O valor esperado (média) de X é definido por
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f(x) é zero fora de [a,b], essa integral reduz ao intervalo [a,b]:
\mathbb{E}[X]=\int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx.]

Passo 3

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos a constante \dfrac{1}{b-a}:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então avaliando entre a e b temos:
\int_{a}^{b} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b} = \frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2} = \frac{b^{2}-a^{2}}{2}.
Substituindo de volta:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{2}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}.
Fatorando b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a) obtemos:
\mathbb{E}[X]=\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{b+a}{2}.
Ou seja, a média de uma uniforme contínua em [a,b] é simplesmente a média aritmética dos extremos, \dfrac{a+b}{2}. Isso significa: a média fica exatamente no ponto médio do intervalo.

Passo 4

Agora aplicamos ao nosso caso com a= 50 e b= 100:
\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}=\frac{50+100}{2}=\frac{150}{2}=75.
O resultado tem unidade de metros, pois a e b estavam em metros.

Passo 5

Interpretação intuitiva e dica para prova: para uma distribuição uniforme entre dois valores, a média é sempre o ponto médio entre eles. Em vez de integrar, na prova você pode rapidamente calcular \dfrac{a+b}{2}. Aqui, a profundidade média fica exatamente no meio entre 50 e 100, ou seja, 75 metros. Vai dar tudo certo — lembra essa regra simples e economiza tempo!

Resposta

\,75\\ \text{m}

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