Suponha que você seja um engenheiro responsável por analisar a profundidade de uma camada geológica em uma determinada região. A profundidade da camada segue uma distribuição uniforme contínua entre 50 metros e 100 metros.
Qual a profundidade média da camada geológica nesta área?
Passo 1
O enunciado dá que a profundidade da camada é uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua no intervalo entre 50 metros e 100 metros. A pergunta é: qual a profundidade média da camada nessa área?
Informações do enunciado:
Limite inferior do intervalo: a = 50 (metros).
Limite superior do intervalo: b = 100 (metros).
Quer-se o valor esperado (média) da profundidade.
Passo 2
Vamos apresentar a definição que usamos aqui (sem pressão, eu explico devagar). Para uma variável aleatória X\) com distribuição uniforme contínua no intervalo \([a,b]\), a função densidade de probabilidade (pdf) é constante dentro do intervalo e zero fora. Escrevemos:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Explicando as letras:
x\] representa um valor possível da profundidade (em metros).
- \(a é o menor valor possível da profundidade (aqui 50).
- b é o maior valor possível (aqui 100).
- f(x) é a densidade — como a distribuição é uniforme, f(x) é igual em todo o intervalo e igual a \dfrac{1}{b-a}.
Ou seja, a média de uma uniforme contínua em [a,b] é simplesmente a média aritmética dos extremos, \dfrac{a+b}{2}. Isso significa: a média fica exatamente no ponto médio do intervalo.
O resultado tem unidade de metros, pois a e b estavam em metros.
Passo 5
Interpretação intuitiva e dica para prova: para uma distribuição uniforme entre dois valores, a média é sempre o ponto médio entre eles. Em vez de integrar, na prova você pode rapidamente calcular \dfrac{a+b}{2}. Aqui, a profundidade média fica exatamente no meio entre 50 e 100, ou seja, 75 metros. Vai dar tudo certo — lembra essa regra simples e economiza tempo!