Numa central telefônica, o número de chamadas chega com uma média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num periodo de dois minutos se tenha:
menos que uma chamada. (PESO 1,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Taxa média de chegada: \,8\, chamadas por minuto (peguei isso do enunciado).
  • Intervalo de tempo considerado: \,2\, minutos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse período de \,2\, minutos, haja menos que uma chamada (ou seja, zero chamadas)?

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática): para chegadas de chamadas em intervalos curtos e independentes costuma-se usar a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos num intervalo quando se conhece a média \lambda de eventos nesse intervalo. A fórmula é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória “número de chamadas no intervalo”;
  • \lambda é a média (valor esperado) de chamadas no intervalo considerado;
  • k é um número inteiro não negativo (o número de chamadas que queremos a probabilidade);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 0!=1, 1!=1, 2!=2, etc.).
Observação intuitiva: se em média chegam 8 chamadas por minuto, em 2 minutos a média esperada é simplesmente o dobro, porque médias de processos de chegada somam em intervalos disjuntos.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para o intervalo de \,2\, minutos:
\lambda = 8 \times 2 = 16.
Explicação: a média por minuto ( 8) multiplicada pelo número de minutos ( 2) dá a média no intervalo de 2 minutos.

Passo 4

Queremos a probabilidade de “menos que uma chamada”, isto é P(X<1). Como X só pode assumir valores inteiros não negativos, P(X<1)=P(X=0). Usando a fórmula de Poisson com k=0 e \lambda=16:
P(X=0)=\frac{16^{0}e^{-16}}{0!}=e^{-16},
porque 16^{0}=1 e 0!=1.

Passo 5

Dar uma aproximação numérica para interpretação prática:
e^{-16}\approx 1{,}125\times10^{-7}.
Isto é uma probabilidade extremamente pequena (próxima de zero): cerca de 0{,}00001125\%.

Resposta

e^{-16}\approx 1{,}125\times10^{-7}

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