Numa central telefônica, o número de chamadas chega com uma média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num periodo de dois minutos se tenha:
duas ou mais chamadas; (PESO 1,0)

Passo 1

O enunciado dá: a chegada de chamadas tem média de oito chamadas por minuto. Pede a probabilidade de que, em um período de dois minutos, ocorram duas ou mais chamadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Média por minuto: \,8 chamadas por minuto.
  • Intervalo de interesse: 2 minutos.
  • Pedido: probabilidade de ocorrerem “duas ou mais” chamadas no período de 2 minutos \,.

Passo 2

Modelo que vamos usar (intuição e fórmula): quando eventos (como chamadas) chegam independentemente e com uma taxa média constante por unidade de tempo, o número de eventos em um intervalo fixo costuma ser modelado pela distribuição de Poisson. A fórmula básica é:
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo;
  • k é um valor inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • \lambda é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo considerado;
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828).
    Explicação rápida dos termos: e^{-\lambda} é um fator que assegura que as probabilidades somem 1; \lambda^{k}/k! dá o peso relativo à ocorrência de exatamente k eventos. Um exemplo simples: se \lambda=2, então P(N=0)=e^{-2}, P(N=1)=2e^{-2}, etc.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para o intervalo de 2 minutos: a média é 8 chamadas por minuto, então em 2 minutos a média é
\lambda = 8\times 2 = 16.
Explicação: a média escala com o tempo quando a taxa é constante, por isso multiplicamos 8 por 2.

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida com uma técnica conveniente: é mais fácil usar o complementar. A probabilidade de “duas ou mais” chamadas é
P(N\ge 2)=1-P(N=0)-P(N=1).
Motivo: calcular diretamente P(N\ge2) exigiria somar infinitos termos P(N=2)+P(N=3)+\dots; pelo complemento precisamos só dos dois primeiros termos, que são simples.

Passo 5

Calcular P(N=0) e P(N=1) para \lambda=16. Usando a fórmula da Poisson:
P(N=0)=e^{-16}\frac{16^{0}}{0!}=e^{-16},
P(N=1)=e^{-16}\frac{16^{1}}{1!}=16\,e^{-16}.
Somando:
P(N=0)+P(N=1)=e^{-16}(1+16)=17\,e^{-16}.
Portanto a probabilidade requerida é
P(N\ge2)=1-17\,e^{-16}.
Esta expressão é a resposta exata em termos elementares.

Passo 6

Estimativa numérica (interpretação prática): e^{-16} é um número muito pequeno. Podemos estimar:
e^{-16}=e^{-10}\cdot e^{-6}\approx(4{,}539993\times10^{-5})\cdot(0{,}002478752)\approx1{,}1253517\times10^{-7}.
Multiplicando por 17:
17\,e^{-16}\approx17\times1{,}1253517\times10^{-7}\approx1{,}9130979\times10^{-6}.
Subtraindo de 1:
P(N\ge2)=1-17\,e^{-16}\approx1-1{,}9130979\times10^{-6}\approx0{,}9999980869\approx0{,}9999981.
Interpretação amigável: a probabilidade é praticamente 1 — ou seja, é quase certo que em 2 minutos venham ao menos duas chamadas dado \lambda=16.

Resposta

\displaystyle 1-17\,e^{-16}\approx0{,}9999981

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