Numa central telefônica, o número de chamadas chega com uma média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num periodo de dois minutos se tenha:
duas ou mais chamadas; (PESO 1,0)
duas ou mais chamadas; (PESO 1,0)
Passo 1
O enunciado dá: a chegada de chamadas tem média de oito chamadas por minuto. Pede a probabilidade de que, em um período de dois minutos, ocorram duas ou mais chamadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Média por minuto:
chamadas por minuto. - Intervalo de interesse:
minutos. - Pedido:
probabilidade de ocorrerem “duas ou mais” chamadas no período de minutos .
Passo 2
Modelo que vamos usar (intuição e fórmula): quando eventos (como chamadas) chegam independentemente e com uma taxa média constante por unidade de tempo, o número de eventos em um intervalo fixo costuma ser modelado pela distribuição de Poisson. A fórmula básica é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo; -
é um valor inteiro não negativo ( ); -
é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo considerado; -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Explicação rápida dos termos:é um fator que assegura que as probabilidades somem 1; dá o peso relativo à ocorrência de exatamente eventos. Um exemplo simples: se , então , , etc.
Passo 3
Calcular o parâmetro
para o intervalo de
minutos: a média é
chamadas por minuto, então em
minutos a média é
Explicação: a média escala com o tempo quando a taxa é constante, por isso multiplicamos
por
.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida com uma técnica conveniente: é mais fácil usar o complementar. A probabilidade de “duas ou mais” chamadas é
Motivo: calcular diretamente
exigiria somar infinitos termos
; pelo complemento precisamos só dos dois primeiros termos, que são simples.
Passo 5
Calcular
e
para
. Usando a fórmula da Poisson:
Somando:
Portanto a probabilidade requerida é
Esta expressão é a resposta exata em termos elementares.
Passo 6
Estimativa numérica (interpretação prática):
é um número muito pequeno. Podemos estimar:
Multiplicando por
:
Subtraindo de
:
Interpretação amigável: a probabilidade é praticamente
— ou seja, é quase certo que em
minutos venham ao menos duas chamadas dado
.