Em um lote de 100 peças, existem:
- 70 peças não-defeituosas
- 30 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acaso DUAS peças do lote:
.
Calcule
com reposição.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
- O lote tem
peças no total. - Há
peças não-defeituosas. - Há
peças defeituosas. - Vamos extrair ao acaso duas peças, com reposição (ou seja, após a primeira extração a peça volta ao lote antes da segunda extração).
O que se pede: calcular, onde é o evento “a segunda peça é defeituosa”.
Passo 2
Entenda primeiro a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em uma única extração aleatória do lote.
A definição clássica de probabilidade aqui é
A definição clássica de probabilidade aqui é
Substituindo os valores dados:
Em forma decimal isso é
. Isso significa que, em qualquer extração única do lote nas mesmas condições, a chance de sair uma peça defeituosa é
.
Passo 3
Explique o que muda quando há reposição. “Com reposição” significa que, depois de retirar a primeira peça, ela é devolvida ao lote antes da segunda retirada; portanto a composição do lote volta a ser exatamente a mesma (ainda há
defeituosas entre
peças).
Consequência importante: a segunda extração tem a mesma distribuição de probabilidades da primeira. Em linguagem de probabilidade, os eventos “primeira é defeituosa” e “segunda é defeituosa” são independentes quando há reposição; isto é,
Consequência importante: a segunda extração tem a mesma distribuição de probabilidades da primeira. Em linguagem de probabilidade, os eventos “primeira é defeituosa” e “segunda é defeituosa” são independentes quando há reposição; isto é,
onde
é o evento “primeira peça é defeituosa”.
Passo 4
Para formalizar, pode-se usar a fórmula da probabilidade total:
Agora, porque há reposição, tanto
quanto
valem
. Também
e
. Substituindo:
Passo 5
Calcule a expressão do passo anterior:
Ou, em palavras simples: como a segunda extração é feita nas mesmas condições da primeira (depois de repor), a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa é exatamente a probabilidade de uma única extração ser defeituosa, ou seja
.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (lembrete amigo): quando houver reposição, trate cada retirada como independente e use a razão “favoráveis / total” para uma retirada isolada. Não complique: P(segunda defeituosa) = P(defeituosa numa retirada) =
.