Em um lote de 100 peças, existem:
  • 70 peças não-defeituosas
  • 30 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acaso DUAS peças do lote:
A={a primeira peça é defeituosa }çé.
B={\text { a segunda peça é defeituosa }}_{i}çé
Calcule P(B) com reposição.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O lote tem 100 peças no total.
  • 70 peças não-defeituosas.
  • 30 peças defeituosas.
  • Vamos extrair ao acaso duas peças, com reposição (ou seja, após a primeira extração a peça volta ao lote antes da segunda extração).
    O que se pede: calcular P(B), onde B é o evento “a segunda peça é defeituosa”.

Passo 2

Entenda primeiro a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em uma única extração aleatória do lote.
A definição clássica de probabilidade aqui é
P(\text{peça defeituosa})=\frac{\text{número de peças defeituosas}}{\text{número total de peças}}.çúçúç
Substituindo os valores dados:
P(\text{defeito})=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}.
Em forma decimal isso é 0{,}3. Isso significa que, em qualquer extração única do lote nas mesmas condições, a chance de sair uma peça defeituosa é 30\%.

Passo 3

Explique o que muda quando há reposição. “Com reposição” significa que, depois de retirar a primeira peça, ela é devolvida ao lote antes da segunda retirada; portanto a composição do lote volta a ser exatamente a mesma (ainda há 30 defeituosas entre 100 peças).
Consequência importante: a segunda extração tem a mesma distribuição de probabilidades da primeira. Em linguagem de probabilidade, os eventos “primeira é defeituosa” e “segunda é defeituosa” são independentes quando há reposição; isto é,
P(B\mid A)=P(B),
onde A é o evento “primeira peça é defeituosa”.

Passo 4

Para formalizar, pode-se usar a fórmula da probabilidade total:
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c}).
Agora, porque há reposição, tanto P(B\mid A) quanto P(B\mid A^{c}) valem P(\text{defeito})=\dfrac{3}{10}. Também P(A)=\dfrac{3}{10} e P(A^{c})=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}. Substituindo:
P(B)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}+\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10}.

Passo 5

Calcule a expressão do passo anterior:
P(B)=\frac{3}{10}\left(\frac{3}{10}+\frac{7}{10}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{10}{10}=\frac{3}{10}.
Ou, em palavras simples: como a segunda extração é feita nas mesmas condições da primeira (depois de repor), a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa é exatamente a probabilidade de uma única extração ser defeituosa, ou seja \dfrac{3}{10}.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (lembrete amigo): quando houver reposição, trate cada retirada como independente e use a razão “favoráveis / total” para uma retirada isolada. Não complique: P(segunda defeituosa) = P(defeituosa numa retirada) = 30/100.

Resposta

\dfrac{3}{10}=0{,}3

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