Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX receber 3 chamadas durante um intervalo de 2 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
- Taxa média de chamadas:
chamadas por minuto (peguei isto do enunciado). - Intervalo de tempo de interesse:
minutos (peguei isto do enunciado). - Pergunta: Qual a probabilidade de receber exatamente
chamadas durante esse intervalo de minutos?
Passo 2
Vamos pensar que a quantidade de chamadas num intervalo de tempo pode ser modelada por uma variável aleatória discreta que conta ocorrências em um intervalo, quando:
- as chamadas ocorrem independentemente,
- a taxa média por unidade de tempo é constante,
- é razoável usar um modelo para contagens de eventos raros por intervalo.
Para esse tipo de situação usa-se a fórmula padrão (vou explicar o que cada símbolo significa):
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de chamadas no intervalo considerado; -
é o número de ocorrências que queremos (aqui ); -
é a média (valor esperado) do número de ocorrências no intervalo considerado; -
é o fatorial de : ; -
é a base do logaritmo natural (aproximadamente ).
Essa fórmula dá a probabilidade de exatamente
ocorrências quando o processo obedece às hipóteses acima. Em prova, verifique sempre as unidades (taxa por minuto × minutos do intervalo) para encontrar
.
Passo 3
Calcular a média
para o intervalo de
minutos:
Ou seja, a média esperada de chamadas em
minutos é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e
:
Passo 5
Calcular passo a passo os termos numéricos:
-
. -
.
Portanto
Passo 6
Calcular
e a probabilidade numérica:
- Um valor aproximado é
(pegamos essa aproximação de uma tabela/calculadora mental de potências de ).
Multiplicando:
Interpretação rápida: a probabilidade é pequena porque a média no intervalo é alta (
) e pedir exatamente
está bem abaixo da média.
Passo 7
Dicas para a prova (curtas e práticas):
- Sempre transforme a taxa para o intervalo pedido:
. - Use a fórmula
e calcule e antes de multiplicar por . - Se precisar de aproximação, guarde
ou calcule com uma calculadora rápida.