Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX receber 3 chamadas durante um intervalo de 2 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
  • Taxa média de chamadas: \,5\, chamadas por minuto (peguei isto do enunciado).
  • Intervalo de tempo de interesse: 2 minutos (peguei isto do enunciado).
  • Pergunta: Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas durante esse intervalo de 2 minutos?

Passo 2

Vamos pensar que a quantidade de chamadas num intervalo de tempo pode ser modelada por uma variável aleatória discreta que conta ocorrências em um intervalo, quando:
  • as chamadas ocorrem independentemente,
  • a taxa média por unidade de tempo é constante,
  • é razoável usar um modelo para contagens de eventos raros por intervalo.
Para esse tipo de situação usa-se a fórmula padrão (vou explicar o que cada símbolo significa):
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de chamadas no intervalo considerado;
  • k é o número de ocorrências que queremos (aqui k=3);
  • \lambda é a média (valor esperado) do número de ocorrências no intervalo considerado;
  • k! é o fatorial de k: k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot1;
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828\ldots).
Essa fórmula dá a probabilidade de exatamente k ocorrências quando o processo obedece às hipóteses acima. Em prova, verifique sempre as unidades (taxa por minuto × minutos do intervalo) para encontrar \lambda.

Passo 3

Calcular a média \lambda para o intervalo de 2 minutos:
\lambda = (\text{taxa por minuto})\times(\text{número de minutos}) = 5\times2 = 10.ú
Ou seja, a média esperada de chamadas em 2 minutos é \lambda=10.

Passo 4

Aplicar a fórmula com k=3 e \lambda=10:
P(X=3)=e^{-10}\frac{10^{3}}{3!}.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos:
  • 10^{3}=1000.
  • 3!=3\cdot2\cdot1=6.
    Portanto
\frac{10^{3}}{3!}=\frac{1000}{6}=\frac{500}{3}\approx166{,}666\ldots

Passo 6

Calcular e^{-10} e a probabilidade numérica:
  • Um valor aproximado é e^{-10}\approx4{,}539993\times10^{-5} (pegamos essa aproximação de uma tabela/calculadora mental de potências de e).
    Multiplicando:
P(X=3)=e^{-10}\frac{10^{3}}{3!}\approx4{,}539993\times10^{-5}\times166{,}666\ldots\approx0{,}0075667.
Interpretação rápida: a probabilidade é pequena porque a média no intervalo é alta ( \lambda=10) e pedir exatamente 3 está bem abaixo da média.

Passo 7

Dicas para a prova (curtas e práticas):
  • Sempre transforme a taxa para o intervalo pedido: \lambda=(\text{taxa por unidade})\times(\text{nº de unidades})º.
  • Use a fórmula \;P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!\; e calcule k! e \lambda^k antes de multiplicar por e^{-\lambda}.
  • Se precisar de aproximação, guarde e^{-10}\approx4{,}54\times10^{-5} ou calcule e^{-\lambda} com uma calculadora rápida.

Resposta

\;P(X=3)=e^{-10}\dfrac{10^{3}}{3!}\approx0{,}0075667

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