Deve-se construir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e cinco físicos. Determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O que se pede: determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê de quatro pessoas. Ou seja, definir a função de probabilidade
, onde é o número de químicos no comitê. - Informações fornecidas:
- Há
químicos disponíveis. - Há
físicos disponíveis. - O comitê terá exatamente
pessoas escolhidas dentre esses indivíduos no total.
- Há
Passo 2
Entender o espaço amostral (quantas comissões possíveis existem) e por que todas as comissões têm a mesma probabilidade.
- Cada comitê é uma escolha de
pessoas dentre sem ordem e sem reposição. O número total de comitês possíveis é
- Explicando o símbolo:
(lê-se “ escolhe ”) conta o número de subconjuntos de tamanho que se pode formar a partir de objetos. A fórmula é
onde
(fatorial) significa
.
- Calculemos
de forma prática evitando fatoriales grandes:
Portanto existem
comitês possíveis, todos igualmente prováveis.
Passo 3
Determinar como contar os comitês com exatamente
químicos (molde geral).
- Se queremos exatamente
químicos no comitê (com inteiro), então escolhemos dos químicos e os restantes devem ser escolhidos entre os físicos. - Assim o número de comitês com exatamente
químicos é
- A probabilidade correspondente é o número acima dividido pelo total
:
Passo 4
Definir quais valores de
são possíveis (domínio de
).
- Não podemos ter mais químicos do que existem:
. - Também não podemos ter mais do que
pessoas no comitê; e precisamos preencher o comitê com físicos caso não haja químicos suficientes: o número mínimo de químicos é . - Formalmente,
varia entre e . - Portanto os valores possíveis são
.
Passo 5
Calcular
(nenhum químico).
- Número de comitês com
químicos:
- Probabilidade:
Passo 6
Calcular
(exatamente um químico).
- Número de comitês com
químico:
pois
.
- Probabilidade:
Passo 7
Calcular
(exatamente dois químicos).
- Número de comitês com
químicos:
pois
e
.
- Probabilidade:
Passo 8
Calcular
(exatamente três químicos).
- Número de comitês com
químicos:
- Probabilidade:
Passo 9
Verificação rápida: as probabilidades somam
.
- Soma:
- Tudo consistente: temos uma distribuição de probabilidade válida.