Deve-se construir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e cinco físicos. Determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O que se pede: determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê de quatro pessoas. Ou seja, definir a função de probabilidade P(X=k), onde X é o número de químicos no comitê.
  • Informações fornecidas:
    • 3 químicos disponíveis.
    • 5 físicos disponíveis.
    • O comitê terá exatamente 4 pessoas escolhidas dentre esses 8 indivíduos no total.

Passo 2

Entender o espaço amostral (quantas comissões possíveis existem) e por que todas as comissões têm a mesma probabilidade.
  • Cada comitê é uma escolha de 4 pessoas dentre 8 sem ordem e sem reposição. O número total de comitês possíveis é
\binom{8}{4}.
  • Explicando o símbolo: \binom{n}{k} (lê-se “ n escolhe k”) conta o número de subconjuntos de tamanho k que se pode formar a partir de n objetos. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Calculemos \binom{8}{4} de forma prática evitando fatoriales grandes:
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{1680}{24}=70.
Portanto existem 70 comitês possíveis, todos igualmente prováveis.

Passo 3

Determinar como contar os comitês com exatamente k químicos (molde geral).
  • Se queremos exatamente k químicos no comitê (com k inteiro), então escolhemos k dos 3 químicos e os 4-k restantes devem ser escolhidos entre os 5 físicos.
  • Assim o número de comitês com exatamente k químicos é
\binom{3}{k}\binom{5}{4-k}.
  • A probabilidade correspondente é o número acima dividido pelo total \binom{8}{4}:
P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{5}{4-k}}{\binom{8}{4}}.

Passo 4

Definir quais valores de k são possíveis (domínio de X).
  • Não podemos ter mais químicos do que existem: k\le 3.
  • Também não podemos ter mais do que 4 pessoas no comitê; e precisamos preencher o comitê com físicos caso não haja químicos suficientes: o número mínimo de químicos é 0.
  • Formalmente, k varia entre \max(0,4-5)=0 e \min(3,4)=3.
  • Portanto os valores possíveis são k=0,1,2,3.

Passo 5

Calcular P(X=0) (nenhum químico).
  • Número de comitês com 0 químicos:
\binom{3}{0}\binom{5}{4}=1\cdot5=5.
  • Probabilidade:
P(X=0)=\frac{5}{\binom{8}{4}}=\frac{5}{70}=\frac{1}{14}.

Passo 6

Calcular P(X=1) (exatamente um químico).
  • Número de comitês com 1 químico:
\binom{3}{1}\binom{5}{3}=3\cdot10=30,
pois \binom{5}{3}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.
  • Probabilidade:
P(X=1)=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}.

Passo 7

Calcular P(X=2) (exatamente dois químicos).
  • Número de comitês com 2 químicos:
\binom{3}{2}\binom{5}{2}=3\cdot10=30,
pois \binom{3}{2}=3 e \binom{5}{2}=10.
  • Probabilidade:
P(X=2)=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}.

Passo 8

Calcular P(X=3) (exatamente três químicos).
  • Número de comitês com 3 químicos:
\binom{3}{3}\binom{5}{1}=1\cdot5=5.
  • Probabilidade:
P(X=3)=\frac{5}{70}=\frac{1}{14}.

Passo 9

Verificação rápida: as probabilidades somam 1.
  • Soma:
\frac{1}{14}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{1}{14}=\frac{1+6+6+1}{14}=\frac{14}{14}=1.
  • Tudo consistente: temos uma distribuição de probabilidade válida.

Resposta

P(X=0)=\dfrac{1}{14}
P(X=1)=\dfrac{3}{7}
P(X=2)=\dfrac{3}{7}
P(X=3)=\dfrac{1}{14}

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