Num determinado país, 18 \% dos adultos usam lentes de contato. Os adultos são selecionados aleatoriamente e entrevistados um de cada vez. Encontre a probabilidade de que o primeiro adulto a usar lentes de contato seja:
a) um dos primeiros 15 entrevistados
b) nenhum dos nove primeiros entrevistados.

Passo 1

O enunciado dá a informação de que 18\% dos adultos usam lentes de contato. Selecionam-se adultos aleatoriamente, um de cada vez. As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro adulto a usar lentes de contato apareça entre os primeiros 15 entrevistados?
(b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos nove primeiros entrevistados use lentes de contato?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Probabilidade de sucesso em cada entrevista (um adulto usa lentes) é p=0,18.
  • As entrevistas são independentes e com mesma probabilidade p de sucesso em cada tentativa.
  • Queremos a probabilidade do índice da primeira ocorrência de sucesso.

Passo 2

Modelagem e fórmula básica (explicada devagar, como numa prova).
  • Defina a variável aleatória X = número da entrevista em que ocorre a primeira pessoa que usa lentes de contato.
    Aqui X toma valores 1,2,3,\dots.
  • Para que X=k ocorra, é preciso falhar nas primeiras (k-1) entrevistas (ou seja, pessoas que não usam lentes) e ter sucesso na k-ésima. A probabilidade de falhar numa entrevista é 1-p. Como as entrevistas são independentes, a probabilidade de ter (k-1) falhas seguidas e depois um sucesso é
\mathbb{P}(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p.
  • Essa distribuição é a distribuição geométrica (com a convenção “contar o número da tentativa do primeiro sucesso”).
  • Duas fórmulas úteis, diretamente obtidas dessa definição:
    • Probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em ou antes de n tentativas:
    \mathbb{P}(X\le n)=\sum_{k=1}^{n}(1-p)^{k-1}p=1-(1-p)^{n}.(a soma telescopa porque é uma soma geométrica; interpretar intuitivamente: é o complementar da probabilidade de falhar nas n primeiras.)
    • Probabilidade de que NÃO haja sucesso nas primeiras n tentativas (ou seja, o primeiro sucesso venha depois de n):
    \mathbb{P}(X>n)=(1-p)^{n}.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema (substituindo p=0,18 que foi dado).
  • Para (a) queremos \mathbb{P}(X\le 15). Usando a fórmula do passo anterior:
\mathbb{P}(X\le 15)=1-(1-p)^{15}=1-(1-0,18)^{15}=1-0,82^{15}.
  • Para (b) queremos a probabilidade de que nenhum dos primeiros 9 use lentes, isto é \mathbb{P}(X>9). Pela fórmula:
\mathbb{P}(X>9)=(1-p)^{9}=0,82^{9}.

Passo 4

Como calcular as potências 0,82^{15} e 0,82^{9} sem pular passos — técnica prática (expoenciação por quadrados).
  • Primeiro calcule potências menores e reutilize:
    • 0,82^{2}=0,6724.
    • 0,82^{4}=(0,82^{2})^{2}=0,6724^{2}=0,45211976.
    • 0,82^{8}=(0,82^{4})^{2}=0,45211976^{2}\approx 0,204410 (arredondando algumas casas mantidas).
  • Agora combine para obter ^{15} e ^{9}:
    • 0,82^{9}=0,82^{8}\cdot0,82\approx 0,204410\cdot0,82\approx 0,167618.
    • 0,82^{15}=0,82^{8}\cdot0,82^{4}\cdot0,82^{2}\cdot0,82 \approx 0,204410\cdot0,45211976\cdot0,6724\cdot0,82\approx 0,050977.
    (Os números foram mantidos com algumas casas para não perder precisão; em prova, deixar em forma exata 1-0,82^{15} também é aceitável se não for pedido valor numérico muito preciso.)

Passo 5

Resultados numéricos finais e interpretação rápida.
  • Usando os valores aproximados do passo anterior:
    • \mathbb{P}(X\le 15)=1-0,82^{15}\approx 1-0,050977\approx 0,949023. Ou seja, cerca de 94,90\% de chance de que o primeiro usuário apareça entre os primeiros 15 entrevistados.
    • \mathbb{P}(\text{nenhum dos 9 primeiros usa})=0,82^{9}\approx 0,167618. Ou seja, cerca de 16,76\% de chance de não ver nenhum usuário nos primeiros 9.
  • Dica para a prova: se for permitido resultado em forma fechada, escreva 1-0,82^{15} e 0,82^{9}. Se pedirem aproximação, use a técnica de quadrados para reduzir multiplicações.

Resposta

\text{(a)}\;1-0,82^{15}\approx 0,9490
\text{(b)}\;0,82^{9}\approx 0,1676

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