Num determinado país,
dos adultos usam lentes de contato. Os adultos são selecionados aleatoriamente e entrevistados um de cada vez. Encontre a probabilidade de que o primeiro adulto a usar lentes de contato seja:
a) um dos primeiros 15 entrevistados
b) nenhum dos nove primeiros entrevistados.
a) um dos primeiros 15 entrevistados
b) nenhum dos nove primeiros entrevistados.
Passo 1
O enunciado dá a informação de que
dos adultos usam lentes de contato. Selecionam-se adultos aleatoriamente, um de cada vez. As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro adulto a usar lentes de contato apareça entre os primeiros 15 entrevistados?
(b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos nove primeiros entrevistados use lentes de contato?
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro adulto a usar lentes de contato apareça entre os primeiros 15 entrevistados?
(b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos nove primeiros entrevistados use lentes de contato?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Probabilidade de sucesso em cada entrevista (um adulto usa lentes) é
. - As entrevistas são independentes e com mesma probabilidade
de sucesso em cada tentativa. - Queremos a probabilidade do índice da primeira ocorrência de sucesso.
Passo 2
Modelagem e fórmula básica (explicada devagar, como numa prova).
- Defina a variável aleatória
= número da entrevista em que ocorre a primeira pessoa que usa lentes de contato.
Aquitoma valores . - Para que
ocorra, é preciso falhar nas primeiras entrevistas (ou seja, pessoas que não usam lentes) e ter sucesso na -ésima. A probabilidade de falhar numa entrevista é . Como as entrevistas são independentes, a probabilidade de ter falhas seguidas e depois um sucesso é
- Essa distribuição é a distribuição geométrica (com a convenção “contar o número da tentativa do primeiro sucesso”).
- Duas fórmulas úteis, diretamente obtidas dessa definição:
- Probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em ou antes de
tentativas:
(a soma telescopa porque é uma soma geométrica; interpretar intuitivamente: é o complementar da probabilidade de falhar nas primeiras.) - Probabilidade de que NÃO haja sucesso nas primeiras
tentativas (ou seja, o primeiro sucesso venha depois de ):
- Probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em ou antes de
Passo 3
Aplicando ao nosso problema (substituindo
que foi dado).
- Para (a) queremos
. Usando a fórmula do passo anterior:
- Para (b) queremos a probabilidade de que nenhum dos primeiros 9 use lentes, isto é
. Pela fórmula:
Passo 4
Como calcular as potências
e
sem pular passos — técnica prática (expoenciação por quadrados).
- Primeiro calcule potências menores e reutilize:
-
. -
. -
(arredondando algumas casas mantidas).
-
- Agora combine para obter ^{15} e ^{9}:
também é aceitável se não for pedido valor numérico muito preciso.) -
Passo 5
Resultados numéricos finais e interpretação rápida.
- Usando os valores aproximados do passo anterior:
-
. Ou seja, cerca de de chance de que o primeiro usuário apareça entre os primeiros 15 entrevistados. -
. Ou seja, cerca de de chance de não ver nenhum usuário nos primeiros 9.
-
- Dica para a prova: se for permitido resultado em forma fechada, escreva
e . Se pedirem aproximação, use a técnica de quadrados para reduzir multiplicações.