O centro de massa G da barra esbelta de massa
e comprimento
está caindo verticalmente com uma velocidade
no instante representado. Calcule a quantidade de movimento angular HO da barra em relação ao ponto O se a velocidade angular da barra é
no sentido horário e (b)
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado fornece (peguei os valores da imagem):
- massa da barra:
. - comprimento da barra:
. - velocidade do centro de massa
: vertical para baixo com módulo . - distância horizontal entre o ponto
e a linha vertical que passa por : . - a barra está no plano da figura (movimento plano) e tem velocidade angular dada em cada caso: (a)
no sentido horário; (b) no sentido anti-horário.
O que se pede: calcular a quantidade de movimento angularda barra em relação ao ponto para os dois sentidos de .
Passo 2
Fórmula útil (princípio para corpo rígido): a quantidade de movimento angular em relação a
é a soma do momento angular devido ao movimento do centro de massa mais o momento angular devido à rotação em torno do centro de massa:
Explicando cada termo:
-
é o vetor posição de relativo a . -
é o momento linear do centro de massa. -
é o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa por . -
é o vetor velocidade angular (direção perpendicular ao plano; o sinal indica sentido).
Para movimento estritamente plano,
aponta perpendicular ao plano (e podemos trabalhar com sua componente em
). Se tomarmos
saindo da página como positivo, então
No nosso caso a velocidade é vertical (
,
porque para baixo é negativo), e a distância horizontal entre
e a linha de ação de
é
. Assim o termo de translação é
Calculemos numericamente:
Portanto o termo translacional é
(ou seja, dirigido para dentro da página).
Passo 3
Agora o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa por
e é perpendicular ao plano (barra delgada, eixo central perpendicular ao comprimento) é
Substituindo:
Arredondando para cálculo prático:
Passo 4
Escolha de sinais para
: tomamos
saindo da página como positivo. Assim
- rotação anti-horária (sentido trigonométrico) corresponde a
. - rotação horária corresponde a
.
Dado
, temos:
O termo rotacional é
. Calculamos
Passo 5
Somamos as contribuições translacional e rotacional para cada caso:
- Caso (a),
:
Arredondando:
.
- Caso (b),
:
Arredondando:
.
Observação física rápida: em ambos os casos o sinal final é negativo, ou seja, o momento angular em relação a
aponta para dentro da página (o termo devido ao movimento do centro de massa domina sobre o giro quando
tem esse valor).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)