O centro de massa G da barra esbelta de massa 0,8 \mathrm{~kg} e comprimento 0,4 \mathrm{~m} está caindo verticalmente com uma velocidade \mathrm{v}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no instante representado. Calcule a quantidade de movimento angular HO da barra em relação ao ponto O se a velocidade angular da barra é
\omega_{\mathrm{a}}=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no sentido horário e (b) \omega_{\mathrm{b}}=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado fornece (peguei os valores da imagem):
  • massa da barra: m=0,8\\ \mathrm{kg}.
  • comprimento da barra: L=0,4\\ \mathrm{m}.
  • velocidade do centro de massa G: \mathbf{v}_G vertical para baixo com módulo v=2\\ \mathrm{m/s}.
  • distância horizontal entre o ponto O e a linha vertical que passa por G: x=0,3\\ \mathrm{m}.
  • a barra está no plano da figura (movimento plano) e tem velocidade angular dada em cada caso: (a) \omega_a=10\\ \mathrm{rad/s} no sentido horário; (b) \omega_b=10\\ \mathrm{rad/s} no sentido anti-horário.
    O que se pede: calcular a quantidade de movimento angular \mathbf{H}_O da barra em relação ao ponto O para os dois sentidos de \omega.

Passo 2

Fórmula útil (princípio para corpo rígido): a quantidade de movimento angular em relação a O é a soma do momento angular devido ao movimento do centro de massa mais o momento angular devido à rotação em torno do centro de massa:
\mathbf{H}_O=\mathbf{r}_G\times m\mathbf{v}_G + I_G\,\boldsymbol{\omega}.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{r}_G é o vetor posição de G relativo a O.
  • m\mathbf{v}_G é o momento linear do centro de massa.
  • I_G é o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa por G.
  • \boldsymbol{\omega} é o vetor velocidade angular (direção perpendicular ao plano; o sinal indica sentido).
Para movimento estritamente plano, \mathbf{H}_O aponta perpendicular ao plano (e podemos trabalhar com sua componente em z). Se tomarmos \hat{k} saindo da página como positivo, então
(\mathbf{r}_G\times m\mathbf{v}_G)_z = m\,(x\,v_{G,y}-y\,v_{G,x}).
No nosso caso a velocidade é vertical ( v_{G,x}=0, v_{G,y}=-v porque para baixo é negativo), e a distância horizontal entre O e a linha de ação de v é x=0,3\\ \mathrm{m}. Assim o termo de translação é
\mathbf{r}_G\times m\mathbf{v}_G = m\,x\,v\,(-\hat{k}).
Calculemos numericamente:
m\,x\,v = 0,8\cdot 0,3\cdot 2 = 0,48\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}.
Portanto o termo translacional é -0,48\\ \hat{k} (ou seja, dirigido para dentro da página).

Passo 3

Agora o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa por G e é perpendicular ao plano (barra delgada, eixo central perpendicular ao comprimento) é
I_G=\frac{1}{12}\,m\,L^2.
Substituindo:
I_G=\frac{1}{12}\cdot 0,8\cdot(0,4)^2=\frac{0,8\cdot 0,16}{12}=\frac{0,128}{12}=0,010666\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Arredondando para cálculo prático: I_G\approx 0,01067\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Escolha de sinais para \omega: tomamos \hat{k} saindo da página como positivo. Assim
  • rotação anti-horária (sentido trigonométrico) corresponde a \omega>0.
  • rotação horária corresponde a \omega<0.
Dado |\omega|=10\\ \mathrm{rad/s}, temos:
\omega_a = -10\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{horário}),\qquad \omega_b = +10\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{anti-horário}).áá
O termo rotacional é I_G\omega\,\hat{k}. Calculamos
I_G\omega = 0,010666\ldots \times 10 = 0,106666\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\approx 0,10667\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}.

Passo 5

Somamos as contribuições translacional e rotacional para cada caso:
  • Caso (a), \omega_a=-10:
\mathbf{H}_O = -0,48\,\hat{k} + I_G\omega_a\,\hat{k} = -0,48\,\hat{k} + (-0,106666\ldots)\,\hat{k} = -0,586666\ldots\,\hat{k}.
Arredondando: \mathbf{H}_O\approx -0,587\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\,\hat{k}.
  • Caso (b), \omega_b=+10:
\mathbf{H}_O = -0,48\,\hat{k} + 0,106666\ldots\,\hat{k} = -0,373333\ldots\,\hat{k}.
Arredondando: \mathbf{H}_O\approx -0,373\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\,\hat{k}.
Observação física rápida: em ambos os casos o sinal final é negativo, ou seja, o momento angular em relação a O aponta para dentro da página (o termo devido ao movimento do centro de massa domina sobre o giro quando \omega tem esse valor).

Resposta

(a) \mathbf{H}_O = -0,587\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\,\hat{k}\n
(b) \mathbf{H}_O = -0,373\\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\,\hat{k}

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