Considere um estado de tensão de um elemento tal que a tensão σx é exercida na direção x, a contração lateral é livre para ocorrer na direção z, mas é completamente restrita na direção y. Ache a relação entre a tensão na direção x e a deformação nessa direção. Ache também a razão entre a deformação na direção z e a deformação na direção x.
\begin{array}{lll} & \sigma_{x}=\frac{E}{\left(1-v^{2}\right)} \varepsilon_{x} & \sigma_{y}=v \frac{E}{\left(1-v^{2}\right)} \varepsilon_{x} \\\ \text { Resposta: } & \text { e }\end{array}

Passo 1

Vou explicitar o que o enunciado nos dá e o que pede, deixando tudo bem claro (peguei estas condições do enunciado).
  • Há uma tensão aplicada na direção x: \sigma_x (é o único carregamento externo).
  • A contração lateral é livre na direção z. Isso significa que a superfície nessa direção não tem restrição mecânica, logo a tensão nesse eixo é nula: \sigma_z=0.
  • A direção y está completamente restrita — isto é, não há deformação nessa direção: \varepsilon_y=0.
  • O que pedem:
    1. Relação entre \sigma_x e \varepsilon_x.
    2. Razão entre \varepsilon_z e \varepsilon_x.

Passo 2

Vou usar a lei de Hooke para um material isotrópico linear em forma de “compliance” (forma que relaciona deformações com tensões). Essas fórmulas são básicas e muito úteis; aqui está cada equação e o que cada símbolo significa:
  • E é o módulo de Young (rigidez à tração),
  • \nu é o coeficiente de Poisson (razão entre contração lateral e alongamento axial em ensaio uniaxial),
  • \sigma_i são as tensões ( i=x,y,z),
  • \varepsilon_i são as deformações normais ( i=x,y,z).
As relações (forma inversa do tensor de elasticidade isotrópico) são
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\big(\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z)\big),
\varepsilon_y = \frac{1}{E}\big(\sigma_y - \nu(\sigma_x+\sigma_z)\big),
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\big(\sigma_z - \nu(\sigma_x+\sigma_y)\big).
Essas fórmulas vêm da lei de Hooke tridimensional: cada deformação axial é proporcional à sua tensão axial menos a contribuição de Poisson das outras tensões.

Passo 3

Aplicar as condições do enunciado nas equações. Primeiro, como \varepsilon_y=0, use a segunda equação:
0 = \frac{1}{E}\big(\sigma_y - \nu(\sigma_x+\sigma_z)\big).
Lembrando que a direção z é livre, então \sigma_z=0. Substituindo \sigma_z=0,
0 = \frac{1}{E}\big(\sigma_y - \nu\sigma_x\big) \quad\Longrightarrow\quad \sigma_y = \nu \sigma_x.
Interpretação física rápida: a restrição em y gera uma tensão \sigma_y que é proporcional a \sigma_x através de \nu.

Passo 4

Agora usamos a primeira equação para relacionar \varepsilon_x e \sigma_x. A primeira equação é
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\big(\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z)\big).
Substituindo \sigma_z=0 e \sigma_y=\nu\sigma_x obtemos
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\big(\sigma_x - \nu(\nu\sigma_x)\big) = \frac{1}{E}\sigma_x\big(1-\nu^2\big).
Isolando \sigma_x,
\sigma_x = \frac{E}{1-\nu^2}\,\varepsilon_x.
Esse é exatamente o tipo de relação que o enunciado sugere: a rigidez efetiva aumenta por conta da restrição em y.

Passo 5

Agora determinamos \varepsilon_z e a razão pedida. Use a terceira equação:
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\big(\sigma_z - \nu(\sigma_x+\sigma_y)\big).
Com \sigma_z=0 e \sigma_y=\nu\sigma_x,
\varepsilon_z = -\frac{\nu}{E}\big(\sigma_x+\nu\sigma_x\big) = -\frac{\nu(1+\nu)}{E}\,\sigma_x.
Queremos \varepsilon_z em função de \varepsilon_x. Substituindo \sigma_x obtida no Passo 4, \sigma_x=\dfrac{E}{1-\nu^2}\varepsilon_x,
\varepsilon_z = -\frac{\nu(1+\nu)}{E}\cdot\frac{E}{1-\nu^2}\,\varepsilon_x = -\frac{\nu(1+\nu)}{1-\nu^2}\,\varepsilon_x.
Agora simplificamos usando 1-\nu^2=(1-\nu)(1+\nu); cancelando (1+\nu),
\varepsilon_z = -\frac{\nu}{1-\nu}\,\varepsilon_x.
Portanto a razão pedida é
\frac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x} = -\frac{\nu}{1-\nu}.
Sinal negativo indica que, se \varepsilon_x>0 (alongamento), então \varepsilon_z<0 (contração), como esperado.

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida:
  • A restrição em y impede deformação nessa direção e gera uma tensão de reação \sigma_y=\nu\sigma_x.
  • Essa restrição aumenta a rigidez aparente na direção x: \sigma_x deve ser maior, para produzir uma mesma \varepsilon_x, do que no caso uniaxial livre.
  • A contração em z é maior (em módulo) do que seria para um corpo livre uniaxial: para um corpo livre uniaxial teria \varepsilon_z=-\nu\varepsilon_x; aqui temos \varepsilon_z=-\dfrac{\nu}{1-\nu}\varepsilon_x devido à presença da restrição em y.

Resposta

\displaystyle \sigma_x=\frac{E}{1-\nu^{2}}\,\varepsilon_x
\displaystyle \frac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x}=-\frac{\nu}{1-\nu}

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