Considere um estado de tensão de um elemento tal que a tensão σx é exercida na direção
, a contração lateral é livre para ocorrer na direção
, mas é completamente restrita na direção y. Ache a relação entre a tensão na direção x e a deformação nessa direção. Ache também a razão entre a deformação na direção z e a deformação na direção x.
Passo 1
Vou explicitar o que o enunciado nos dá e o que pede, deixando tudo bem claro (peguei estas condições do enunciado).
- Há uma tensão aplicada na direção
: (é o único carregamento externo). - A contração lateral é livre na direção
. Isso significa que a superfície nessa direção não tem restrição mecânica, logo a tensão nesse eixo é nula: . - A direção
está completamente restrita — isto é, não há deformação nessa direção: . - O que pedem:
- Relação entre
e . - Razão entre
e .
- Relação entre
Passo 2
Vou usar a lei de Hooke para um material isotrópico linear em forma de “compliance” (forma que relaciona deformações com tensões). Essas fórmulas são básicas e muito úteis; aqui está cada equação e o que cada símbolo significa:
-
é o módulo de Young (rigidez à tração), -
é o coeficiente de Poisson (razão entre contração lateral e alongamento axial em ensaio uniaxial), -
são as tensões ( ), -
são as deformações normais ( ).
As relações (forma inversa do tensor de elasticidade isotrópico) são
Essas fórmulas vêm da lei de Hooke tridimensional: cada deformação axial é proporcional à sua tensão axial menos a contribuição de Poisson das outras tensões.
Passo 3
Aplicar as condições do enunciado nas equações. Primeiro, como
, use a segunda equação:
Lembrando que a direção
é livre, então
. Substituindo
,
Interpretação física rápida: a restrição em
gera uma tensão
que é proporcional a
através de
.
Passo 4
Agora usamos a primeira equação para relacionar
e
. A primeira equação é
Substituindo
e
obtemos
Isolando
,
Esse é exatamente o tipo de relação que o enunciado sugere: a rigidez efetiva aumenta por conta da restrição em
.
Passo 5
Agora determinamos
e a razão pedida. Use a terceira equação:
Com
e
,
Queremos
em função de
. Substituindo
obtida no Passo 4,
,
Agora simplificamos usando
; cancelando
,
Portanto a razão pedida é
Sinal negativo indica que, se
(alongamento), então
(contração), como esperado.
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida:
- A restrição em
impede deformação nessa direção e gera uma tensão de reação . - Essa restrição aumenta a rigidez aparente na direção
: deve ser maior, para produzir uma mesma , do que no caso uniaxial livre. - A contração em
é maior (em módulo) do que seria para um corpo livre uniaxial: para um corpo livre uniaxial teria ; aqui temos devido à presença da restrição em .