Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade \delta(x, y, z)=15 \sqrt{y+2} se encontra ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{\jmath}+2 t \vec{k},-1 \leq t \leq 1. Encontre o centro de massa. Resposta: (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\left(0,-\frac{3}{5}, 0\right)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o centro de massa de um fio curvo. As informações dadas são:
A densidade linear do fio é \delta(x,y,z)=15\sqrt{y+2}.
O fio está ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right)\vec{\jmath}+2t\vec{k}, com -1\le t\le 1.
Não há componente na direção \vec{\imath} explicitamente na parametrização, ou seja, x(t)=0.
A pergunta é: qual é o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) desse fio?
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que usamos (passo a passo, sem pressa):
A massa total m de um fio com densidade \delta ao longo de uma curva parametrizada por t é
Aqui: x(t),y(t),z(t) são as coordenadas paramétricas da curva; \delta(\cdot) é a densidade avaliada nessas coordenadas; \big|\vec{r}\,'(t)\big| transforma a integral em função de t.
A função t^{3}+t é ímpar, isto é, (t^{3}+t)=-(-t)^{3}-(-t). Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico [-1,1] obtemos zero. Portanto o numerador é 0 e
\bar{z}=0.
Passo 8
Calculamos \bar{x}. Como x(t)=0 para todo t (a parametrização não tem componente \vec{\imath}), o momento em x é zero e, portanto,
\bar{x}=0.
Passo 9
Juntando os resultados obtemos o centro de massa do fio: