Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade \delta(x, y, z)=15 \sqrt{y+2} se encontra ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{\jmath}+2 t \vec{k},-1 \leq t \leq 1. Encontre o centro de massa. Resposta: (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\left(0,-\frac{3}{5}, 0\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro de massa de um fio curvo. As informações dadas são:
  • A densidade linear do fio é \delta(x,y,z)=15\sqrt{y+2}.
  • O fio está ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right)\vec{\jmath}+2t\vec{k}, com -1\le t\le 1.
  • Não há componente na direção \vec{\imath} explicitamente na parametrização, ou seja, x(t)=0.
    A pergunta é: qual é o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) desse fio?

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que usamos (passo a passo, sem pressa):
  • A massa total m de um fio com densidade \delta ao longo de uma curva parametrizada por t é
m=\int_{a}^{b}\delta\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento ao longo da curva.
  • Em termos da parametrização \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), temos
\mathrm{d}s=\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t,
onde \vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}(t) em relação a t e \big|\vec{r}\,'(t)\big| é o comprimento desse vetor (a velocidade escalar).
  • As coordenadas do centro de massa são dadas por
\bar{x}=\frac{1}{m}\int_{a}^{b} x(t)\,\delta\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t,
\bar{y}=\frac{1}{m}\int_{a}^{b} y(t)\,\delta\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t,
\bar{z}=\frac{1}{m}\int_{a}^{b} z(t)\,\delta\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t.
Aqui: x(t),y(t),z(t) são as coordenadas paramétricas da curva; \delta(\cdot) é a densidade avaliada nessas coordenadas; \big|\vec{r}\,'(t)\big| transforma a integral em função de t.

Passo 3

Identificamos as componentes da parametrização:
x(t)=0,\qquad y(t)=t^{2}-1,\qquad z(t)=2t.
Calculamos a derivada \vec{r}\,'(t):
\vec{r}\,'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(0,\;t^{2}-1,\;2t\big)=(0,\;2t,\;2).
O comprimento dessa derivada é
\big|\vec{r}\,'(t)\big|=\sqrt{0^{2}+(2t)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4t^{2}+4}=2\sqrt{t^{2}+1}.
Portanto \mathrm{d}s=2\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Expressamos a densidade ao longo da curva como função de t. A densidade dada é \delta(x,y,z)=15\sqrt{y+2}. Substituindo y(t)=t^{2}-1,
y(t)+2=(t^{2}-1)+2=t^{2}+1,
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\delta\big(x(t),y(t),z(t)\big)=15\sqrt{t^{2}+1}.
Agora multiplicamos \delta por \mathrm{d}s:
\delta\big(\cdot\big)\,\mathrm{d}s=15\sqrt{t^{2}+1}\cdot 2\sqrt{t^{2}+1}\,\mathrm{d}t=30\big(t^{2}+1\big)\,\mathrm{d}t.
Isso simplifica muito as integrais: a massa e os momentos serão integrais polinomiais em t.

Passo 5

Calculamos a massa total m:
m=\int_{-1}^{1}30\big(t^{2}+1\big)\,\mathrm{d}t.
Vamos integrar termo a termo. Primeiro
\int_{-1}^{1} t^{2}\,\mathrm{d}t=2\int_{0}^{1}t^{2}\,\mathrm{d}t=2\cdot\frac{1^{3}}{3}=\frac{2}{3},
e
\int_{-1}^{1}1\,\mathrm{d}t=2.
Então
m=30\left(\frac{2}{3}+2\right)=30\cdot\frac{8}{3}=80.

Passo 6

Calculamos \bar{y}. A fórmula é
\bar{y}=\frac{1}{m}\int_{-1}^{1} y(t)\,\delta\big(\cdot\big)\,\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t =\frac{1}{m}\int_{-1}^{1} (t^{2}-1)\cdot 30\big(t^{2}+1\big)\,\mathrm{d}t.
Multiplicando os fatores:
(t^{2}-1)(t^{2}+1)=t^{4}-1,
portanto o numerador é
\int_{-1}^{1}30\big(t^{4}-1\big)\,\mathrm{d}t=30\left(\int_{-1}^{1}t^{4}\,\mathrm{d}t-\int_{-1}^{1}1\,\mathrm{d}t\right).
Calculamos cada termo:
\int_{-1}^{1}t^{4}\,\mathrm{d}t=2\int_{0}^{1}t^{4}\,\mathrm{d}t=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5},
e já sabemos \int_{-1}^{1}1\,\mathrm{d}t=2. Assim
\int_{-1}^{1}\big(t^{4}-1\big)\,\mathrm{d}t=\frac{2}{5}-2=-\frac{8}{5}.
Multiplicando por 30 obtemos o numerador -48. Logo
\bar{y}=\frac{-48}{80}=-\frac{3}{5}.

Passo 7

Calculamos \bar{z}. A fórmula é
\bar{z}=\frac{1}{m}\int_{-1}^{1} z(t)\,\delta\big(\cdot\big)\,\big|\vec{r}\,'(t)\big|\,\mathrm{d}t =\frac{1}{80}\int_{-1}^{1} 2t\cdot 30\big(t^{2}+1\big)\,\mathrm{d}t.
Simplificando o integrando:
2t\cdot 30\big(t^{2}+1\big)=60\big(t^{3}+t\big).
A função t^{3}+t é ímpar, isto é, (t^{3}+t)=-(-t)^{3}-(-t). Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico [-1,1] obtemos zero. Portanto o numerador é 0 e
\bar{z}=0.

Passo 8

Calculamos \bar{x}. Como x(t)=0 para todo t (a parametrização não tem componente \vec{\imath}), o momento em x é zero e, portanto,
\bar{x}=0.

Passo 9

Juntando os resultados obtemos o centro de massa do fio:
(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\left(0,\,-\frac{3}{5},\,0\right).

Resposta

(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\left(0,-\frac{3}{5}, 0\right)

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