Questão 5 (1 ponto) Um objeto de massa 18 kg se move com função posição \gamma(t)=(3 \operatorname{sen} t, 4 \cos t, t), t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]. Determine o trabalho realizado sobre o objeto durante esse intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado dá um objeto de massa m=18\\ \text{kg} com função posição
\gamma(t) = \bigl(3\sin t,\;4\cos t,\;t\bigr),\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
A pergunta é: determinar o trabalho realizado sobre o objeto durante esse intervalo de tempo.
Informações importantes extraídas do enunciado:
m=18\\ \text{kg},\qquad \gamma(t)=\bigl(3\sin t,\,4\cos t,\,t\bigr),\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].

Passo 2

Vamos usar o Teorema Trabalho–Energia (também chamado de Teorema de Energia Cinética). Ele diz que o trabalho total realizado pela força resultante sobre uma partícula, ao longo de um intervalo de tempo, é igual à variação da energia cinética daquela partícula. Em fórmulas:
W=\Delta K = \frac{1}{2}m\bigl(\lVert v(t_f)\rVert^2-\lVert v(t_i)\rVert^2\bigr),
onde v(t)=\gamma'(t) é a velocidade, \lVert v\rVert é o módulo (norma) da velocidade e t_i e t_f são os instantes inicial e final do intervalo.
Breve justificativa (útil para prova): pela Segunda Lei de Newton \,F=m a=m v'(t). O trabalho é W=\int_{t_i}^{t_f}F\cdot v\,dt = m\int_{t_i}^{t_f}v'\cdot v\,dt = m\int_{t_i}^{t_f}\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}\lVert v\rVert^2\right)\,dt, o que leva diretamente à fórmula acima.

Passo 3

Calcular a velocidade \,v(t)=\gamma'(t). Derivando cada componente:
\gamma(t)=\bigl(3\sin t,\;4\cos t,\;t\bigr)
\Rightarrow v(t)=\gamma'(t)=\bigl(3\cos t,\;-4\sin t,\;1\bigr).
Expliquei: derivada de \sin t é \cos t, de \cos t é -\sin t, e de t é 1.

Passo 4

Calcular o quadrado da velocidade \lVert v(t)\rVert^2:
\lVert v(t)\rVert^2=(3\cos t)^2+(-4\sin t)^2+1^2.
Compute passo a passo:
(3\cos t)^2=9\cos^2 t,\qquad (-4\sin t)^2=16\sin^2 t,\qquad 1^2=1,
logo
\lVert v(t)\rVert^2=9\cos^2 t+16\sin^2 t+1.
Usando \cos^2 t=1-\sin^2 t para simplificar:
9\cos^2 t+16\sin^2 t = 9(1-\sin^2 t)+16\sin^2 t = 9 + 7\sin^2 t,
portanto
\lVert v(t)\rVert^2 = 10 + 7\sin^2 t.
Comentário didático: esse passo é só manipular identidades trigonométricas básicas e somar termos.

Passo 5

Avaliar \lVert v(t)\rVert^2 nos extremos do intervalo t=0 e t=\frac{\pi}{2}.
Para t=0:
\sin 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lVert v(0)\rVert^2 = 10 + 7\cdot 0 = 10.
Para t=\frac{\pi}{2}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \quad\Rightarrow\quad \lVert v\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\rVert^2 = 10 + 7\cdot 1 = 17.

Passo 6

Aplicar o Teorema Trabalho–Energia:
W=\frac{1}{2}m\bigl(\lVert v(\tfrac{\pi}{2})\rVert^2-\lVert v(0)\rVert^2\bigr) =\frac{1}{2}\cdot 18\cdot(17-10).
Calculemos:
17-10=7,\qquad \frac{1}{2}\cdot 18 = 9,\qquad 9\cdot 7 = 63.
Portanto o trabalho realizado é 63 (unidades de energia). Em unidades do SI (massa em kg, velocidade em m/s) o trabalho está em joules.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o trabalho é positivo ( 63\\ \text{J}), o que significa que a força resultante aumentou a energia cinética do objeto no intervalo dado. Ótimo — você já aplicou derivada, identidade trigonométrica e o teorema trabalho–energia; vale bastante numa prova!

Resposta

63\\ \text{J}

Exercícios relacionados