Questão 5 (1 ponto) Um objeto de massa 18 kg se move com função posição
,
. Determine o trabalho realizado sobre o objeto durante esse intervalo de tempo.
Passo 1
O enunciado dá um objeto de massa
com função posição
A pergunta é: determinar o trabalho realizado sobre o objeto durante esse intervalo de tempo.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos usar o Teorema Trabalho–Energia (também chamado de Teorema de Energia Cinética). Ele diz que o trabalho total realizado pela força resultante sobre uma partícula, ao longo de um intervalo de tempo, é igual à variação da energia cinética daquela partícula. Em fórmulas:
onde
é a velocidade,
é o módulo (norma) da velocidade e
e
são os instantes inicial e final do intervalo.
Breve justificativa (útil para prova): pela Segunda Lei de Newton . O trabalho é
, o que leva diretamente à fórmula acima.
Breve justificativa (útil para prova): pela Segunda Lei de Newton
Passo 3
Calcular a velocidade
. Derivando cada componente:
Expliquei: derivada de
é
, de
é
, e de
é
.
Passo 4
Calcular o quadrado da velocidade
:
Compute passo a passo:
logo
Usando
para simplificar:
portanto
Comentário didático: esse passo é só manipular identidades trigonométricas básicas e somar termos.
Passo 5
Avaliar
nos extremos do intervalo
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Aplicar o Teorema Trabalho–Energia:
Calculemos:
Portanto o trabalho realizado é
(unidades de energia). Em unidades do SI (massa em kg, velocidade em m/s) o trabalho está em joules.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o trabalho é positivo (
), o que significa que a força resultante aumentou a energia cinética do objeto no intervalo dado. Ótimo — você já aplicou derivada, identidade trigonométrica e o teorema trabalho–energia; vale bastante numa prova!