Questāo 6 (2 pontos) Calcule
em que
é a fronteira da região semianular contida no semiplano superior entre os círculos
e
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região semianular contida no semiplano superior entre os círculos
e
, orientada no sentido anti-horário. Informações relevantes fornecidas:
- A região
é o conjunto (um semianel no semiplano ). - A fronteira
tem as partes: semicircunferência externa de raio (para ), semicircunferência interna de raio (para ) e os dois segmentos sobre o eixo com e . - A orientação é anti-horária (isto implica a orientação positiva da fronteira; para uma região com “buraco” isso significa: contorno externo no sentido anti-horário e o contorno interno no sentido horário, de modo que a região fique sempre à esquerda ao percorrer
). - Queremos o valor numérico da integral de linha.
Passo 2
Vou usar um teorema que transforma integrais de linha sobre a fronteira em uma integral dupla sobre a região interior, o que costuma simplificar quando a forma diferencial tem derivadas simples. Escrevemos a forma diferencial como
com
O teorema que vou aplicar relaciona a integral de linha à integral dupla do termo
sobre a região
. Vou explicar e aplicar esse passo a passo.
Passo 3
Explico o que é usado do teorema (Green). O Teorema de Green diz, para uma região plana
com fronteira
orientada positivamente,
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial de
em relação a
. Calculamos essas derivadas:
Subtraindo,
Passo 4
Pelo Teorema de Green, a integral pedida é
Agora vamos calcular essa integral dupla sobre a região
. Para regiões circulares ou anelares é bem prático usar coordenadas polares. Recordando as fórmulas:
Aqui
. Precisamos também dos limites de integração para
: como
é a parte do anel entre
e
com
, os ângulos vão de
até
e o raio vai de
até
. Logo os limites são
Passo 5
Substituindo na integral:
Reescrevendo o integrando:
Portanto
Passo 6
Calculamos a integral em
primeiro. Para a primitiva de
temos
. Assim
Fazendo a conta
. Então a integral fica
Passo 7
Agora a integral em
:
Multiplicando pelo
obtido antes:
Passo 8
Conclusão: pela aplicação do Teorema de Green e cálculo em coordenadas polares, a integral de linha vale
. Comentário final sobre orientação: a orientação anti-horária indicada no enunciado corresponde à orientação positiva da fronteira da região (o contorno externo percorrido no sentido anti-horário e o contorno interno percorrido no sentido horário), que é exatamente a hipótese do Teorema de Green que usei.
Resposta
70