O centróide (
) de uma região da forma
, onde
e
são funções contínuas e
em
, é dado por
sendo
a área da região
. Com base nessas informações, encontre o centro de massa (centróide ou centro de gravidade) das seguintes regiões planas:
(3) Suponha que a região
é girada em torno de eixo
. Seja
o sólido resultante, o qual é chamado de Trombeta de Gabriel.
(3) Suponha que a região
Passo 1
O enunciado define a região planar R dada por x ≥ 1 e 0 ≤ y ≤ 1/x, que, ao girar em torno do eixo x, gera o sólido S conhecido como “Trombeta de Gabriel”. Queremos achar o centro de massa (xc,yc,zc) de S. Como S é simétrico em relação ao eixo x, basta achar xc; teremos yc=zc=0.
Passo 2
Para sólidos de revolução em torno de x, usamos o método dos discos: a seção perpendicular em x tem raio g(x)=1/x, logo a área do disco é
O elemento de volume é dV = dA·dx = π x^{-2} dx.
Passo 3
Calculamos o volume total V de S integrando dV de x=1 até ∞:
Passo 4
O momento em x (para obter xc) é
Esse integral diverge, ou seja, não há momento finito.
Passo 5
Como xc = M_x/V = ∞/π = ∞ e yc=zc=0, o centro de massa fica a uma distância infinita ao longo do eixo x. Não existe, portanto, um centro de massa com coordenadas finitas ao longo de x.
Resposta
O centro de massa de S fica no eixo x, mas com xc = ∞ (não há valor finito) e yc = zc = 0.