O centróide ( xc, yc ) de uma região da forma R=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, f(x) <= y <= g(x), onde f e g são funções contínuas e f(x) <= g(x) em [a, b], é dado por
xc=1A integrala^b x[g(x)-f(x)] d x e yc=12 A integrala^b[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)] d x,
sendo A a área da região R. Com base nessas informações, encontre o centro de massa (centróide ou centro de gravidade) das seguintes regiões planas:
(3) Suponha que a região R=(x, y) in R^2 ; x >= 1,0 <= y <= 1x é girada em torno de eixo x. Seja S o sólido resultante, o qual é chamado de Trombeta de Gabriel.

Passo 1

O enunciado define a região planar R dada por x ≥ 1 e 0 ≤ y ≤ 1/x, que, ao girar em torno do eixo x, gera o sólido S conhecido como “Trombeta de Gabriel”. Queremos achar o centro de massa (xc,yc,zc) de S. Como S é simétrico em relação ao eixo x, basta achar xc; teremos yc=zc=0.

Passo 2

Para sólidos de revolução em torno de x, usamos o método dos discos: a seção perpendicular em x tem raio g(x)=1/x, logo a área do disco é
dA=pil(g(x)r)^2=pi,x^-2
O elemento de volume é dV = dA·dx = π x^{-2} dx.

Passo 3

Calculamos o volume total V de S integrando dV de x=1 até ∞:
V=integral1^inftypi,x^-2,dx=pi[-x^-1]1^infty=pi,(0-(-1))=pi

Passo 4

O momento em x (para obter xc) é
Mx=integral1^inftyx,dV=integral1^inftyx,l(pi x^-2r)dx=piintegral1^inftyx^-1,dx=pil[ln xr]1^infty=infty
Esse integral diverge, ou seja, não há momento finito.

Passo 5

Como xc = M_x/V = ∞/π = ∞ e yc=zc=0, o centro de massa fica a uma distância infinita ao longo do eixo x. Não existe, portanto, um centro de massa com coordenadas finitas ao longo de x.

Resposta

O centro de massa de S fica no eixo x, mas com xc = ∞ (não há valor finito) e yc = zc = 0.

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