O centróide de um sólido é o seu centro geométrico, o qual desconsidera a distribuição de massa. É igual ao centro de gravidade quando a densidade é constante igual a 1 .
Use coordenadas esféricas para encontrar o centróide do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o centróide do sólido do primeiro octante limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e pelos planos coordenados, assumindo densidade constante igual a 1.
Conteúdo: coordenadas esféricas e definição de centróide para densidade uniforme. Vamos usar a simetria do primeiro octante e a fórmula
\bar x = \frac{1}{V}\int_{\mathcal V} x\,dV,
e depois concluir que \bar x=\bar y=\bar z.

Passo 2

Calculamos primeiro o volume V do sólido no primeiro octante. Como o volume da esfera inteira é \tfrac{4}{3}\pi a^{3} e estamos em apenas um oitavo,
V = \frac{1}{8}\,\frac{4}{3}\pi a^{3} = \frac{\pi a^{3}}{6}.

Passo 3

Para achar \displaystyle\int_{\mathcal V} x\,dV, usamos coordenadas esféricas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \quad dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
com \rho\in[0,a], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Assim
\int_{\mathcal V} x\,dV = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{a} (\rho\sin\varphi\cos\theta)\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separamos a integral em três partes:
\int_{0}^{a}\rho^{3}d\rho = \frac{a^{4}}{4}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{\pi}{4}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 1.
Multiplicando,
\int_{\mathcal V} x\,dV = \frac{a^{4}}{4}\cdot \frac{\pi}{4}\cdot 1 = \frac{\pi a^{4}}{16}.
Logo
\bar x = \frac{1}{V}\int_{\mathcal V} x\,dV = \frac{\displaystyle\frac{\pi a^{4}}{16}}{\displaystyle\frac{\pi a^{3}}{6}} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}.

Passo 5

Pela simetria do primeiro octante, \bar y=\bar x e \bar z=\bar x.

Resposta

O centróide do sólido é
\Bigl(\tfrac{3a}{8},\,\tfrac{3a}{8},\,\tfrac{3a}{8}\Bigr).

Exercícios relacionados