O centróide de um sólido é o seu centro geométrico, o qual desconsidera a distribuição de massa. É igual ao centro de gravidade quando a densidade é constante igual a 1 .
Use coordenadas esféricas para encontrar o centróide do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o centróide do sólido do primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados, assumindo densidade constante igual a 1.
Conteúdo: coordenadas esféricas e definição de centróide para densidade uniforme. Vamos usar a simetria do primeiro octante e a fórmula
Conteúdo: coordenadas esféricas e definição de centróide para densidade uniforme. Vamos usar a simetria do primeiro octante e a fórmula
e depois concluir que
.
Passo 2
Calculamos primeiro o volume
do sólido no primeiro octante. Como o volume da esfera inteira é
e estamos em apenas um oitavo,
Passo 3
Para achar
, usamos coordenadas esféricas:
com
,
,
. Assim
Passo 4
Separamos a integral em três partes:
Multiplicando,
Logo
Passo 5
Pela simetria do primeiro octante,
e
.
Resposta
O centróide do sólido é