Seja F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} uma função vetorial. O Jacobiano de F, J_{F}, é a matriz cujas entradas são as derivadas parciais das funções componentes de F em relação a cada uma das variáveis. Um componente em cada coluna, uma variável em cada linha. Por exemplo, se F(x, y, z)=(f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)), então seu Jacobiano é dado por
J_{F}(x, y, z)=\left[\begin{array}{lll} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial x}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial x}(x, y, z) \\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial y}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial y}(x, y, z) \\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial z}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial z}(x, y, z) \end{array}\right]
Quando usamos uma substituição de variáveis para calcular uma integral, o fator de correção que aparece no integrando é o determinante do Jacobiano associado à função da mudança de variáveis. Por exemplo: se g(u, v)=(x, y) é uma mudança de variáveis, então
\iint_{g(R)} f(x, y) \mathrm{dx} \mathrm{dy}=\iint_{R} f(g(u, v))\left|\operatorname{det} J_{g}\right| \mathrm{du} \mathrm{dv}
Isso se dá porque o Jacobiano de uma função em um ponto é a aproximação linear do comportamento da função naquele ponto. O seu determinante nos dá uma medida de quanto a função está distorcendo o espaço ao redor daquele ponto (mais exatamente: se uma região do espaço tem volume 1 , o seu volume depois de transformado pela transformação linear passa a ser o módulo do determinante da transformação linear).
No que segue calcularemos o Jacobiano e seu determinante para duas funções de mudança de variável importantes.
As coordenadas polares são dadas pela mudança de variável F(r, \theta)=(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta). Calcule o determinante do Jacobiano de F.

Passo 1

O enunciado pede o determinante do Jacobiano para a mudança de variáveis em coordenadas polares
F(r,\theta) = \bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta)\bigr) = \bigl(r\cos\theta,\;r\operatorname{sen}\theta\bigr).
Aqui o conteúdo é cálculo de Jacobiano: montamos a matriz das derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta e depois calculamos seu determinante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de cada componente:
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -\,r\operatorname{sen}\theta,
\frac{\partial y}{\partial r} = \operatorname{sen}\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta.
Assim, o Jacobiano é
J_{F}(r,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\,r\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o determinante de uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = a\,d - b\,c,
aplicamos a J_F:
\det J_{F}(r,\theta) = (\cos\theta)\,(r\cos\theta) \;-\;(-\,r\operatorname{sen}\theta)\,(\operatorname{sen}\theta) = r\cos^2\theta + r\operatorname{sen}^2\theta = r\bigl(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\bigr) = r.

Resposta

\det J_{F}(r,\theta) = r.

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