Seja F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} uma função vetorial. O Jacobiano de F, J_{F}, é a matriz cujas entradas são as derivadas parciais das funções componentes de F em relação a cada uma das variáveis. Um componente em cada coluna, uma variável em cada linha. Por exemplo, se F(x, y, z)=(f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)), então seu Jacobiano é dado por
J_{F}(x, y, z)=\left[\begin{array}{lll} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial x}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial x}(x, y, z) \\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial y}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial y}(x, y, z) \\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) & \frac{\partial g}{\partial z}(x, y, z) & \frac{\partial h}{\partial z}(x, y, z) \end{array}\right]
Quando usamos uma substituição de variáveis para calcular uma integral, o fator de correção que aparece no integrando é o determinante do Jacobiano associado à função da mudança de variáveis. Por exemplo: se g(u, v)=(x, y) é uma mudança de variáveis, então
\iint_{g(R)} f(x, y) \mathrm{dx} \mathrm{dy}=\iint_{R} f(g(u, v))\left|\operatorname{det} J_{g}\right| \mathrm{du} \mathrm{dv}
Isso se dá porque o Jacobiano de uma função em um ponto é a aproximação linear do comportamento da função naquele ponto. O seu determinante nos dá uma medida de quanto a função está distorcendo o espaço ao redor daquele ponto (mais exatamente: se uma região do espaço tem volume 1 , o seu volume depois de transformado pela transformação linear passa a ser o módulo do determinante da transformação linear).
No que segue calcularemos o Jacobiano e seu determinante para duas funções de mudança de variável importantes.
(Desafiador) As coordenadas esféricas são dadas pela mudança de variável F(\rho, \varphi, \theta)= ( \rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta, \rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, \rho \cos \varphi ). Calcule o determinante do Jacobiano de F.

Passo 1

O enunciado pede o determinante do Jacobiano da mudança de variáveis esféricas \displaystyle F(\rho,\varphi,\theta) = \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta,\;\rho\sin\varphi\sin\theta,\;\rho\cos\varphi\bigr).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais para montar a matriz J_F e em seguida usar o determinante para obter o fator de correção em integrais triplas.

Passo 2

Vamos escrever cada derivada parcial e montar
J_F(\rho,\varphi,\theta) =\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\\\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta\\\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta\\\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det J_F usamos expansão por cofactores na terceira coluna.
Seja a_{13}=-\rho\sin\varphi\sin\theta com cofactor C_{13}=-\rho\sin\theta, e a_{23}=\rho\sin\varphi\cos\theta com cofactor C_{23}=\rho\cos\theta.
Então
\det J_F = a_{13}\,C_{13} + a_{23}\,C_{23} = (-\rho\sin\varphi\sin\theta)(-\rho\sin\theta) + (\rho\sin\varphi\cos\theta)(\rho\cos\theta) = \rho^2\sin\varphi\bigl(\sin^2\theta+\cos^2\theta\bigr).

Passo 4

Como \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, concluímos
\det J_F(\rho,\varphi,\theta)=\rho^2\sin\varphi.

Resposta

\displaystyle \rho^2\sin\varphi

Exercícios relacionados