Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma cerca de altura
. - A cerca corre paralela ao edifício a uma distância de
do edifício.
O que se pede: - O comprimento da menor escada que, apoiada no chão do lado de fora, inclinada sobre a cerca, atinge a parede do edifício.
Passo 2
Escolher coordenadas e escrever as relações geométricas.
- Coloco a parede do edifício na reta vertical
e o chão no eixo . - A cerca está na posição
e seu topo tem coordenada — peguei esses números do enunciado. - Seja
a abscissa do ponto onde a escada toca o chão (logo ). A escada é a reta que passa por e por e intersecta a parede em — esse é a altura atingida na parede. - A inclinação (coeficiente angular) da reta que representa a escada vale
A equação da reta em forma ponto-inclinação é
. Avaliando em
obtemos a altura
na parede:
Passo 3
Expressar o comprimento da escada em função de
e preparar a minimização.
- O comprimento da escada
é a distância entre e , logo
- Substituindo
temos
- Para minimizar
é equivalente minimizar (porque raiz é monótona). Trabalhar com evita raízes na derivada.
Passo 4
Facilitar a derivação trocando de variável: deixe
(então
e
). Escrever
em
:
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
. É mais simples usar derivada do logaritmo:
Derivando e igualando a zero:
Dividindo por
e reorganizando:
Juntando os dois primeiros termos em um lado e simplificando dá:
Multiplicando por
resulta
Expandindo e simplificando:
Passo 5
Resolver para
e voltar para
.
- Da equação
obtemos
- Como
tem . - Então
- A altura atingida na parede é
- O comprimento mínimo
é
Passo 6
Dar a forma fechada elegante (fórmula conhecida) e interpretar.
- Se generalizarmos para uma cerca de altura
a uma distância do edifício, o mesmo procedimento leva à fórmula fechada do comprimento mínimo:
- Aqui
e . Observando que e , obtemos a expressão exata
e numericamente