Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma cerca de altura \,8\\ \text{m}\,.
  • A cerca corre paralela ao edifício a uma distância de \,4\\ \text{m}\, do edifício.
    O que se pede:
  • O comprimento da menor escada que, apoiada no chão do lado de fora, inclinada sobre a cerca, atinge a parede do edifício.

Passo 2

Escolher coordenadas e escrever as relações geométricas.
  • Coloco a parede do edifício na reta vertical x=0 e o chão no eixo y=0.
  • A cerca está na posição x=4 e seu topo tem coordenada (4,8) — peguei esses números do enunciado.
  • Seja b a abscissa do ponto onde a escada toca o chão (logo b>4). A escada é a reta que passa por (b,0) e por (4,8) e intersecta a parede em (0,y) — esse y é a altura atingida na parede.
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta que representa a escada vale
m=\frac{0-8}{b-4}=-\frac{8}{b-4}.
A equação da reta em forma ponto-inclinação é y = m(x-b). Avaliando em x=0 obtemos a altura y na parede:
y = m(0-b) = -m b = \frac{8b}{b-4}.

Passo 3

Expressar o comprimento da escada em função de b e preparar a minimização.
  • O comprimento da escada s é a distância entre (b,0) e (0,y), logo
s=\sqrt{b^{2}+y^{2}}.
  • Substituindo y=\dfrac{8b}{b-4} temos
s^{2}=b^{2}+\left(\frac{8b}{b-4}\right)^{2} = b^{2}\left(1+\frac{64}{(b-4)^{2}}\right).
  • Para minimizar s é equivalente minimizar s^{2} (porque raiz é monótona). Trabalhar com s^{2} evita raízes na derivada.

Passo 4

Facilitar a derivação trocando de variável: deixe t=b-4 (então t>0 e b=t+4). Escrever s^{2} em t:
s^{2}=(t+4)^{2}\left(1+\frac{64}{t^{2}}\right)=(t+4)^{2}\frac{t^{2}+64}{t^{2}}.
Para achar o mínimo, derivamos s^{2} em relação a t. É mais simples usar derivada do logaritmo:
\ln(s^{2})=2\ln(t+4)+\ln(t^{2}+64)-2\ln t.
Derivando e igualando a zero:
\frac{d}{dt}\ln(s^{2})=\frac{2}{t+4}+\frac{2t}{t^{2}+64}-\frac{2}{t}=0.
Dividindo por 2 e reorganizando:
\frac{1}{t+4}+\frac{t}{t^{2}+64}-\frac{1}{t}=0.
Juntando os dois primeiros termos em um lado e simplificando dá:
-\frac{4}{t(t+4)}+\frac{t}{t^{2}+64}=0.
Multiplicando por t(t+4)(t^{2}+64) resulta
t^{2}(t+4)=4(t^{2}+64).
Expandindo e simplificando:
t^{3}+4t^{2}=4t^{2}+256 \quad\Longrightarrow\quad t^{3}=256.

Passo 5

Resolver para t e voltar para b,y,s.
  • Da equação t^{3}=256 obtemos
t=\sqrt[3]{256}.
  • Como 256=2^{8} tem \sqrt[3]{256}=2^{8/3}\approx6,3496.
  • Então
b=t+4\approx 6,3496+4=10,3496\\ \text{m}.
  • A altura atingida na parede é
y=\frac{8b}{b-4}=\frac{8(t+4)}{t}=8+\frac{32}{t}\approx 8+\frac{32}{6,3496}\approx13,0397\\ \text{m}.
  • O comprimento mínimo s é
s=\sqrt{b^{2}+y^{2}}\approx\sqrt{(10,3496)^{2}+(13,0397)^{2}}\approx16,648\\ \text{m}.

Passo 6

Dar a forma fechada elegante (fórmula conhecida) e interpretar.
  • Se generalizarmos para uma cerca de altura \,h a uma distância \,d do edifício, o mesmo procedimento leva à fórmula fechada do comprimento mínimo:
s_{\min}=\bigl(h^{2/3}+d^{2/3}\bigr)^{3/2}.
  • Aqui h=8 e d=4. Observando que 8^{2/3}=4 e 4^{2/3}=2^{4/3}, obtemos a expressão exata
s_{\min}=\bigl(8^{2/3}+4^{2/3}\bigr)^{3/2}
e numericamente \,s_{\min}\approx16{,}648\\ \text{m}.

Resposta

\displaystyle s_{\min}=\bigl(8^{2/3}+4^{2/3}\bigr)^{3/2}\\ \text{m}\approx16{,}648\\ \text{m}

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