A diferença entre dois números é igual a 10. Determine esses números de modo que o produto seja mínimo.
Passo 1
O enunciado informa que a diferença entre dois números é igual a
e pede para determinar esses dois números de modo que o produto entre eles seja mínimo.
Informações relevantes:
- A diferença entre os dois números vale
. - Queremos minimizar o produto dos dois números.
Observação sobre interpretação: dizer que "a diferença entre dois números é
" pode significar
ou
. Esses dois casos são equivalentes se aceitarmos trocar a ordem dos números (basta trocar
por
); portanto basta analisar
e, no final, aceitar a troca de ordem se for necessário.
Passo 2
Definir variáveis (isso organiza a resolução):
- Seja
o primeiro número e o segundo número. - Pela condição da diferença tomamos
.
Expressar um número em função do outro para ter só uma variável:
O produto que queremos minimizar é
Substituindo
em função de
obtemos uma função de uma variável:
Passo 3
Escolher o método para encontrar o mínimo: vou usar completar o quadrado, que é uma técnica algébrica simples e muito útil em provas (não exige cálculo diferencial). Ideia-chave do completar o quadrado: toda expressão do tipo
é sempre maior ou igual a
, então se conseguir escrever
na forma
eu posso dizer imediatamente qual é o menor valor possível (é
) e quando ocorre (quando
).
Também existe o método do vértice da parábola: para uma quadrática
com
o mínimo ocorre em
. Vou mostrar o completar o quadrado porque dá intuição e é rápido.
Passo 4
Aplicar completar o quadrado em
. Primeiro, adiciono e subtraio o termo que completa o quadrado:
Agora agrupo os três primeiros termos como um quadrado perfeito:
Logo
Interpretação: como
para todo
, segue que
para qualquer
, e a igualdade
ocorre exatamente quando
, ou seja, quando
.
Usando
obtemos então
Portanto o par
torna o produto mínimo, e o valor mínimo do produto é
Passo 5
Comentário sobre a ambiguidade inicial (
): se o enunciado tivesse querido dizer
, isso só permite trocar a ordem dos números. O outro arranjo seria
, que é a mesma solução com os números trocados e dá o mesmo produto mínimo
.
Recapitulando de forma prática para a prova: transforme a condição da diferença em uma variável dependente, escreva o produto como uma quadrática em uma variável, complete o quadrado para identificar o mínimo (ou use
). Assim chega-se direto à resposta sem calculadora.
Resposta
Os números são
e
. O produto mínimo é
.