A diferença entre dois números é igual a 10. Determine esses números de modo que o produto seja mínimo.

Passo 1

O enunciado informa que a diferença entre dois números é igual a 10 e pede para determinar esses dois números de modo que o produto entre eles seja mínimo.
Informações relevantes:
  • A diferença entre os dois números vale 10.
  • Queremos minimizar o produto dos dois números.
Observação sobre interpretação: dizer que "a diferença entre dois números é 10" pode significar x-y=10 ou |x-y|=10. Esses dois casos são equivalentes se aceitarmos trocar a ordem dos números (basta trocar x por y); portanto basta analisar x-y=10 e, no final, aceitar a troca de ordem se for necessário.

Passo 2

Definir variáveis (isso organiza a resolução):
  • Seja x o primeiro número e y o segundo número.
  • Pela condição da diferença tomamos \,x-y=10.
Expressar um número em função do outro para ter só uma variável:
y = x - 10.
O produto que queremos minimizar é
P = xy.
Substituindo y em função de x obtemos uma função de uma variável:
P(x) = x\,(x-10) = x^{2} - 10x.

Passo 3

Escolher o método para encontrar o mínimo: vou usar completar o quadrado, que é uma técnica algébrica simples e muito útil em provas (não exige cálculo diferencial). Ideia-chave do completar o quadrado: toda expressão do tipo (x-h)^{2} é sempre maior ou igual a 0, então se conseguir escrever P(x) na forma P(x)=(x-h)^{2}+k eu posso dizer imediatamente qual é o menor valor possível (é k) e quando ocorre (quando x=h).
Também existe o método do vértice da parábola: para uma quadrática ax^{2}+bx+c com a>0 o mínimo ocorre em x=-\dfrac{b}{2a}. Vou mostrar o completar o quadrado porque dá intuição e é rápido.

Passo 4

Aplicar completar o quadrado em P(x)=x^{2}-10x. Primeiro, adiciono e subtraio o termo que completa o quadrado:
x^{2}-10x = x^{2}-10x+25-25.
Agora agrupo os três primeiros termos como um quadrado perfeito:
x^{2}-10x+25 = (x-5)^{2}.
Logo
P(x)= (x-5)^{2} - 25.
Interpretação: como (x-5)^{2}\ge 0 para todo x, segue que
P(x) \ge -25
para qualquer x, e a igualdade P(x)=-25 ocorre exatamente quando (x-5)^{2}=0, ou seja, quando x=5.
Usando y=x-10 obtemos então
y = 5 - 10 = -5.
Portanto o par (x,y)=(5,-5) torna o produto mínimo, e o valor mínimo do produto é
P_{\min} = 5\cdot(-5) = -25.

Passo 5

Comentário sobre a ambiguidade inicial ( |x-y|=10): se o enunciado tivesse querido dizer |x-y|=10, isso só permite trocar a ordem dos números. O outro arranjo seria (x,y)=(-5,5), que é a mesma solução com os números trocados e dá o mesmo produto mínimo -25.
Recapitulando de forma prática para a prova: transforme a condição da diferença em uma variável dependente, escreva o produto como uma quadrática em uma variável, complete o quadrado para identificar o mínimo (ou use x=-\dfrac{b}{2a}). Assim chega-se direto à resposta sem calculadora.

Resposta

Os números são 5 e -5. O produto mínimo é -25.

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