a) Encontre a solução geral da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0
Para \alpha>1, para \alpha=1 e para \alpha<1. Valor (1,5)
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=t e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{\alpha-1} t)
Para \alpha>1. Valor (0,5)
0,7 \frac{7}{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+\alpha y=0
nos três casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1.
  • (b) Para \alpha>1, determinar a forma adequada (o ansatz) para uma solução particular da equação não homogênea
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+\alpha y=t e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big).
Informações dadas e observações úteis que usarei:
  • Coeficientes são constantes; solução geral da homogênea vem da equação característica.
  • A função forçante em (b) é do tipo polinômio vezes e^{at} vezes \sin(\beta t), então o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) é apropriado, com atenção à ressonância (multiplicidade das raízes da característica).

Passo 2

Vou recordar e explicar a técnica para a parte homogênea passo a passo (bem mastigado): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+\alpha y=0
procura-se soluções da forma \;y=e^{rt}\;. Substituindo esta forma na equação obtém-se a equação característica (isso vem de derivar e^{rt} e fatorar e^{rt}, que nunca é zero):
r^{2}+2r+\alpha=0.
As soluções r dessa quadrática determinam a natureza da solução geral: se as raízes são reais e distintas, a solução é soma de exponenciais; se raízes reais iguais (repetidas), há fator t na segunda solução; se raízes complexas conjugadas a\pm i b, a solução é e^{at}(C_1\cos bt + C_2\sin bt). Vou usar exatamente isso nos casos pedidos.

Passo 3

Calcular o discriminante da equação característica para classificar os casos:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot\alpha = 4-4\alpha = 4(1-\alpha).
  • Se \alpha>1 então \Delta<0 e as raízes são complexas conjugadas.
  • Se \alpha=1 então \Delta=0 e há uma raiz real dupla.
  • Se \alpha<1 então \Delta>0 e há duas raízes reais distintas.
Agora vou calcular as raízes em cada caso e escrever a solução geral correspondente.

Passo 4

Caso \alpha>1. Escrever as raízes e a solução geral.
As raízes da quadrática são
r = \frac{-2\pm\sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{4(1-\alpha)}}{2} = -1\pm i\sqrt{\alpha-1},
pois \sqrt{4(1-\alpha)}=2i\sqrt{\alpha-1} quando \alpha>1. Então a=-1 e b=\sqrt{\alpha-1}. Pela regra das raízes complexas conjugadas, a solução geral é
y(t)=e^{-t}\Big(C_{1}\cos\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)+C_{2}\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)\Big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: a parte exponencial vem do real -1 e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária \pm\sqrt{\alpha-1}.

Passo 5

Caso \alpha=1. Aqui \Delta=0 e a equação característica tem raiz dupla:
r=\frac{-2}{2}=-1.
Para uma raiz real dupla r=-1, as soluções independentes são e^{-t} e t e^{-t}. Assim a solução geral é
y(t)=e^{-t}\big(C_{1}+C_{2}\,t\big).
Explicação curta: quando a raiz tem multiplicidade 2, a segunda solução é a primeira multiplicada por t.

Passo 6

Caso \alpha<1. Aqui \Delta>0 e as raízes são reais distintas:
r = -1 \pm \sqrt{1-\alpha}.
Logo a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_{1}e^{\big(-1+\sqrt{1-\alpha}\,\big)t}+C_{2}e^{\big(-1-\sqrt{1-\alpha}\,\big)t}.
Observação: como \sqrt{1-\alpha}>0 neste caso, as duas taxas exponenciais são diferentes e reais.

Passo 7

Agora a parte (b): explicar o método dos coeficientes indeterminados (regra prática) e a noção de ressonância, de forma bem clara e com exemplo aplicado.
Regra prática (resumida e em palavras simples):
  • Se a forçante tem a forma \;P_{m}(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)\; ou \;P_{m}(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)\;, onde P_{m} é um polinômio de grau m,
  • então um ansatz para a solução particular é
y_{p}(t)=t^{s}e^{\alpha t}\big(Q_{m}(t)\cos(\beta t)+R_{m}(t)\sin(\beta t)\big),
onde Q_{m} e R_{m} são polinômios de grau m com coeficientes a determinar, e s é o multiplicador de ressonância: s é a multiplicidade da raiz \alpha\pm i\beta da equação característica. Em outras palavras, se \alpha\pm i\beta é raiz simples então s=1; se não é raiz, s=0; se for raiz dupla s=2, etc. (Nota: algumas fontes definem s como 0 quando não há ressonância; aqui uso a definição prática que acrescenta um fator t^{s} quando necessário.)
Vou aplicar essa regra ao nosso caso.

Passo 8

Identificar os parâmetros do membro direito em (b):
O membro direito é
t e^{-t}\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big).
Comparando com a forma P_{m}(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t) vemos:
  • P_{m}(t)=t tem grau m=1.
  • e^{\alpha t} tem aqui \alpha=-1.
  • \beta=\sqrt{\alpha-1} (note que isso faz sentido somente para \alpha>1, que é o caso pedido).
    Agora devo verificar se \alpha\pm i\beta = -1\pm i\sqrt{\alpha-1} são raízes da equação característica e com que multiplicidade.

Passo 9

Verificar ressonância (por que isso importa):
Para \alpha>1 já vimos na solução homogênea que as raízes da característica são exatamente
r=-1\pm i\sqrt{\alpha-1}.
Ou seja, o par \alpha=-1,\;\beta=\sqrt{\alpha-1} corresponde exatamente às raízes complexas da característica. Essas raízes são simples (multiplicidade 1) porque a equação característica r^{2}+2r+\alpha=0 tem duas raízes conjugadas distintas quando \alpha>1. Portanto há ressonância de ordem s=1 (o caso típico: a frequência do forçamento coincide com a da solução homogênea).

Passo 10

Construir o ansatz seguindo a regra:
  • Grau do polinômio m=1 Q_{m}(t) e R_{m}(t) serão polinômios de grau 1, escrevemos Q_{m}(t)=A_{1}t+A_{0} e R_{m}(t)=B_{1}t+B_{0}.
  • Como há ressonância de ordem s=1, multiplicamos por t^{1}.
  • E incluímos o fator e^{-t} e as funções trigonométricas correspondentes.
Portanto o ansatz apropriado para a solução particular é
y_{p}(t)=t\,e^{-t}\big((A_{1}t+A_{0})\cos\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)+(B_{1}t+B_{0})\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)\big),
onde A_{1},A_{0},B_{1},B_{0} são constantes a determinar substituindo y_{p} na equação e igualando coeficientes (não era pedido resolver para esses coeficientes, apenas indicar a forma adequada).

Passo 11

Comentário final rápido para te deixar confiante: a escolha do fator t extra (resonância) é crucial — sem ele a substituição geraria termos que pertencem ao espaço das soluções homogêneas e não permitiria determinar uma solução particular. O procedimento de depois substituir e comparar coeficientes é mecânico, embora algebraicamente um pouco trabalhoso; a parte essencial para a prova é saber montar o ansatz corretamente.

Resposta

\text{(a) Para }\alpha>1:\;y(t)=e^{-t}\Big(C_{1}\cos\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)+C_{2}\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)\Big)\n
\text{(a) Para }\alpha=1:\;y(t)=e^{-t}\big(C_{1}+C_{2}\,t\big)\n
\text{(a) Para }\alpha<1:\;y(t)=C_{1}e^{\big(-1+\sqrt{1-\alpha}\,\big)t}+C_{2}e^{\big(-1-\sqrt{1-\alpha}\,\big)t}\n
\text{(b) Para }\alpha>1:\;y_{p}(t)=t\,e^{-t}\Big((A_{1}t+A_{0})\cos\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)+(B_{1}t+B_{0})\sin\!\big(\sqrt{\alpha-1}\,t\big)\Big)

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