a) Encontre a solução geral da equação
Para
, para
e para
. Valor
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Para
. Valor
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
- (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea
nos três casos
,
e
.
- (b) Para
, determinar a forma adequada (o ansatz) para uma solução particular da equação não homogênea
Informações dadas e observações úteis que usarei:
- Coeficientes são constantes; solução geral da homogênea vem da equação característica.
- A função forçante em (b) é do tipo polinômio vezes
vezes , então o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) é apropriado, com atenção à ressonância (multiplicidade das raízes da característica).
Passo 2
Vou recordar e explicar a técnica para a parte homogênea passo a passo (bem mastigado): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
procura-se soluções da forma
. Substituindo esta forma na equação obtém-se a equação característica (isso vem de derivar
e fatorar
, que nunca é zero):
As soluções
dessa quadrática determinam a natureza da solução geral: se as raízes são reais e distintas, a solução é soma de exponenciais; se raízes reais iguais (repetidas), há fator
na segunda solução; se raízes complexas conjugadas
, a solução é
. Vou usar exatamente isso nos casos pedidos.
Passo 3
Calcular o discriminante da equação característica para classificar os casos:
- Se
então e as raízes são complexas conjugadas. - Se
então e há uma raiz real dupla. - Se
então e há duas raízes reais distintas.
Agora vou calcular as raízes em cada caso e escrever a solução geral correspondente.
Passo 4
Caso
. Escrever as raízes e a solução geral.
As raízes da quadrática são
As raízes da quadrática são
pois
quando
. Então
e
. Pela regra das raízes complexas conjugadas, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias. Explicando: a parte exponencial vem do real
e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária
.
Passo 5
Caso
. Aqui
e a equação característica tem raiz dupla:
Para uma raiz real dupla
, as soluções independentes são
e
. Assim a solução geral é
Explicação curta: quando a raiz tem multiplicidade 2, a segunda solução é a primeira multiplicada por
.
Passo 6
Caso
. Aqui
e as raízes são reais distintas:
Logo a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes:
Observação: como
neste caso, as duas taxas exponenciais são diferentes e reais.
Passo 7
Agora a parte (b): explicar o método dos coeficientes indeterminados (regra prática) e a noção de ressonância, de forma bem clara e com exemplo aplicado.
Regra prática (resumida e em palavras simples):
- Se a forçante tem a forma
ou , onde é um polinômio de grau , - então um ansatz para a solução particular é
onde
e
são polinômios de grau
com coeficientes a determinar, e
é o multiplicador de ressonância:
é a multiplicidade da raiz
da equação característica. Em outras palavras, se
é raiz simples então
; se não é raiz,
; se for raiz dupla
, etc. (Nota: algumas fontes definem
como 0 quando não há ressonância; aqui uso a definição prática que acrescenta um fator
quando necessário.)
Vou aplicar essa regra ao nosso caso.
Passo 8
Identificar os parâmetros do membro direito em (b):
O membro direito é
O membro direito é
Comparando com a forma
vemos:
-
tem grau . -
tem aqui . -
(note que isso faz sentido somente para , que é o caso pedido).
Agora devo verificar sesão raízes da equação característica e com que multiplicidade.
Passo 9
Verificar ressonância (por que isso importa):
Para já vimos na solução homogênea que as raízes da característica são exatamente
Para
Ou seja, o par
corresponde exatamente às raízes complexas da característica. Essas raízes são simples (multiplicidade
) porque a equação característica
tem duas raízes conjugadas distintas quando
. Portanto há ressonância de ordem
(o caso típico: a frequência do forçamento coincide com a da solução homogênea).
Passo 10
Construir o ansatz seguindo a regra:
- Grau do polinômio
⇒ e serão polinômios de grau , escrevemos e . - Como há ressonância de ordem
, multiplicamos por . - E incluímos o fator
e as funções trigonométricas correspondentes.
Portanto o ansatz apropriado para a solução particular é
onde
são constantes a determinar substituindo
na equação e igualando coeficientes (não era pedido resolver para esses coeficientes, apenas indicar a forma adequada).
Passo 11
Comentário final rápido para te deixar confiante: a escolha do fator
extra (resonância) é crucial — sem ele a substituição geraria termos que pertencem ao espaço das soluções homogêneas e não permitiria determinar uma solução particular. O procedimento de depois substituir e comparar coeficientes é mecânico, embora algebraicamente um pouco trabalhoso; a parte essencial para a prova é saber montar o ansatz corretamente.