Em cerca de quanto a função
g(x, y, z)=x+x \cos z-y \sin z+y
irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover do ponto P_{0}=(2,-1,0) uma distância d s=0,2 unidade na direção do ponto P_{1}=(0,1,2) ?

Passo 1

O enunciado pede: “Em cerca de quanto a função g(x,y,z)=x+x\cos z-y\sin z+y irá variar se o ponto P(x,y,z) se mover do ponto P_{0}=(2,-1,0) uma distância d s=0,2 unidade na direção do ponto P_{1}=(0,1,2) ?”
Informações dadas:
  • A função é g(x,y,z)=x+x\cos z-y\sin z+y.
  • Ponto inicial P_{0}=(2,-1,0).
  • Ponto que determina a direção P_{1}=(0,1,2).
  • Deslocamento ao longo dessa direção com comprimento d s=0,2.
O que se pede:
  • Estimar a variação de g — isto é, \Delta g aproximado — quando se desloca P_{0} na direção de P_{1} por uma distância d s.

Passo 2

Ideia matemática (explicação didática): para pequenas deslocações, a variação da função pode ser aproximada pela derivada direcional ao longo da direção do movimento multiplicada pelo comprimento do deslocamento. Formalmente, se u é o vetor unitário na direção de movimento, então a primeira ordem da expansão de Taylor dá
\Delta g \approx D_{u}g(P_{0})\; d s,
onde D_{u}g(P_{0}) é a derivada direcional de g em P_{0} na direção u. A derivada direcional relaciona-se com o gradiente por
D_{u}g(P_{0})=\nabla g(P_{0})\cdot u.
Aqui \nabla g(P_{0}) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de g avaliadas em P_{0}, e u é obtido normalizando o vetor P_{1}-P_{0}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de g. Escrever g em termos de x,y,z e derivar:
g(x,y,z)=x + x\cos z - y\sin z + y.
As derivadas parciais são
\frac{\partial g}{\partial x}=1+\cos z,
\frac{\partial g}{\partial y}=1-\sin z,
\frac{\partial g}{\partial z}=-x\sin z - y\cos z.
Explicando cada termo: para \partial g/\partial x tratou-se y,z como constantes, ficando 1+\cos z; para \partial g/\partial y o termo em y 1 e o termo -y\sin z -\sin z; para \partial g/\partial z derivou-se \cos z e \sin z multiplicados por x e -y, respectivamente.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P_{0}=(2,-1,0). Usar \cos 0=1 e \sin 0=0.
\frac{\partial g}{\partial x}\Big|_{P_{0}}=1+\cos 0=1+1=2,
\frac{\partial g}{\partial y}\Big|_{P_{0}}=1-\sin 0=1-0=1,
\frac{\partial g}{\partial z}\Big|_{P_{0}}=-x\sin 0 - y\cos 0=0 - y\cdot 1=-y.
Como em P_{0} temos y=-1, segue
\frac{\partial g}{\partial z}\Big|_{P_{0}}=-(-1)=1.
Portanto o gradiente em P_{0} é
\nabla g(P_{0})=(2,\,1,\,1).

Passo 5

Determinar o vetor de direção e o vetor unitário u. O vetor do ponto P_{0} para P_{1} é
v=P_{1}-P_{0}=(0-2,\;1-(-1),\;2-0)=(-2,\,2,\,2).
Norma de v:
\|v\|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Logo o vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\frac{(-2,\,2,\,2)}{2\sqrt{3}}=\frac{(-1,\,1,\,1)}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Calcular a derivada direcional em P_{0} fazendo o produto escalar \nabla g(P_{0})\cdot u:
D_{u}g(P_{0})=\nabla g(P_{0})\cdot u=(2,\,1,\,1)\cdot\frac{(-1,\,1,\,1)}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1}{\sqrt{3}}=\frac{-2+1+1}{\sqrt{3}}=\frac{0}{\sqrt{3}}=0.

Passo 7

Usar a aproximação linear para a variação com o deslocamento dado d s=0,2:
\Delta g \approx D_{u}g(P_{0})\; d s = 0 \cdot 0,2 = 0.
Interpretação prática: a derivada direcional em P_{0} na direção de P_{1} é nula, então, até primeira ordem, a função não muda quando se desloca nessa direção por uma pequena distância. Há termos de ordem superior que poderiam gerar uma variação muito pequena, mas a aproximação linear (a usual em provas) dá variação aproximadamente zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados