Mínimo condicionado. Encontre os pontos da curva x^{2} y=2 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar os pontos da curva x^{2}y=2 que estão mais próximos da origem (0,0).
Informações dadas:
  • A equação da curva é x^{2}y=2.
  • Procuramos pontos (x,y) sobre essa curva que minimizam a distância até a origem.
Observações iniciais úteis (sem resolver ainda):
  • Não é possível ter x=0 porque então x^{2}y=0\neq2. Logo x\neq0 em qualquer ponto da curva.
  • Em vez de minimizar a distância d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, é mais prático minimizar o quadrado da distância d^{2}=x^{2}+y^{2} (mesmo ponto de mínimo, evita raiz).

Passo 2

Definir a função que vamos minimizar e usar a equação da curva para eliminar uma variável.
  • Distância ao quadrado: D^{2}(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Da curva temos x^{2}y=2. Como x\neq0, podemos isolar y:
y=\frac{2}{x^{2}}.
  • Substituindo na função distância ao quadrado obtemos uma função de uma variável x:
f(x)=x^{2}+\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{2}=x^{2}+\frac{4}{x^{4}}.
Explicação rápida: ao minimizar f(x) sobre x\neq0 estamos minimizando a distância ao quadrado da origem para pontos da curva — isso é equivalente a minimizar a distância.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x) e encontrar os pontos críticos.
  • Vamos derivar termo a termo. Para x^{2} a derivada é 2x. Para \dfrac{4}{x^{4}} escrevemos como 4x^{-4} e aplicamos a regra do poder: a derivada é 4\cdot(-4)x^{-5}=-16x^{-5}.
  • Portanto
f'(x)=2x-16x^{-5}.
  • Colocando em forma fatorada para resolver f'(x)=0:
f'(x)=\frac{2x^{6}-16}{x^{5}}.
Como x^{5}\neq0, a condição f'(x)=0 equivale a
2x^{6}-16=0 \quad\Rightarrow\quad x^{6}=8.
  • Resolver x^{6}=8. Escrevendo 8=2^{3} e extraindo a raiz sexta:
x= \pm 8^{1/6}= \pm (2^{3})^{1/6}= \pm 2^{3/6}= \pm 2^{1/2}= \pm \sqrt{2}.

Passo 4

Calcular y correspondente a cada x e verificar que os pontos realmente estão na curva.
  • Para x=\sqrt{2}:
y=\frac{2}{x^{2}}=\frac{2}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{2}{2}=1.
  • Para x=-\sqrt{2}:
y=\frac{2}{x^{2}}=\frac{2}{(-\sqrt{2})^{2}}=\frac{2}{2}=1.
  • Assim os pontos candidatos são \bigl(\sqrt{2},1\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},1\bigr).
  • Verificação rápida na equação da curva: para qualquer desses pontos x^{2}=2 e x^{2}y=2\cdot1=2, logo satisfazem a curva.

Passo 5

Verificar que esses pontos são mínimos (e não máximos ou pontos de sela) e que são globais.
  • Segunda derivada de f:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-16x^{-5}\bigr)=2+80x^{-6}.
  • Para qualquer x\neq0 temos x^{-6}>0 então f''(x)=2+80x^{-6}>0. Em particular f''(\pm\sqrt{2})>0. Isso garante que os pontos críticos encontrados são mínimos locais.
  • Comportamento nas extremidades: quando x\to0 tem-se y=2/x^{2}\to\infty e portanto f(x)\to\infty; quando |x|\to\infty tem-se f(x)\to\infty porque o termo x^{2} domina. Assim não há outro ponto com distância menor — os mínimos locais são na verdade mínimos globais.
  • Conclusão: os pontos encontrados são os pontos da curva mais próximos da origem.

Passo 6

Resumo rápido de estratégia (dica para a prova):
  • Em problemas de distância mínima a uma curva, prefira minimizar o quadrado da distância e eliminar uma variável usando a equação da curva, resultando em uma função de uma variável. Depois use derivada primeira para achar críticos e segunda derivada (ou comportamento de limite) para confirmar mínimo. Isso evita lidar com raízes desnecessárias e com multiplicadores de Lagrange quando não são necessários.

Resposta

\bigl(\sqrt{2},1\bigr)
\bigl(-\sqrt{2},1\bigr)

Exercícios relacionados