Mínimo condicionado. Encontre os pontos da curva
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar os pontos da curva
que estão mais próximos da origem .
Informações dadas:
- A equação da curva é
. - Procuramos pontos
sobre essa curva que minimizam a distância até a origem.
Observações iniciais úteis (sem resolver ainda):
- Não é possível ter
porque então . Logo em qualquer ponto da curva. - Em vez de minimizar a distância
, é mais prático minimizar o quadrado da distância (mesmo ponto de mínimo, evita raiz).
Passo 2
Definir a função que vamos minimizar e usar a equação da curva para eliminar uma variável.
- Distância ao quadrado:
. - Da curva temos
. Como , podemos isolar :
- Substituindo na função distância ao quadrado obtemos uma função de uma variável
:
Explicação rápida: ao minimizar
sobre
estamos minimizando a distância ao quadrado da origem para pontos da curva — isso é equivalente a minimizar a distância.
Passo 3
Calcular a derivada de
e encontrar os pontos críticos.
- Vamos derivar termo a termo. Para
a derivada é . Para escrevemos como e aplicamos a regra do poder: a derivada é . - Portanto
- Colocando em forma fatorada para resolver
:
Como
, a condição
equivale a
- Resolver
. Escrevendo e extraindo a raiz sexta:
Passo 4
Calcular
correspondente a cada
e verificar que os pontos realmente estão na curva.
- Para
:
- Para
:
- Assim os pontos candidatos são
e . - Verificação rápida na equação da curva: para qualquer desses pontos
e , logo satisfazem a curva.
Passo 5
Verificar que esses pontos são mínimos (e não máximos ou pontos de sela) e que são globais.
- Segunda derivada de
:
- Para qualquer
temos então . Em particular . Isso garante que os pontos críticos encontrados são mínimos locais. - Comportamento nas extremidades: quando
tem-se e portanto ; quando tem-se porque o termo domina. Assim não há outro ponto com distância menor — os mínimos locais são na verdade mínimos globais. - Conclusão: os pontos encontrados são os pontos da curva mais próximos da origem.
Passo 6
Resumo rápido de estratégia (dica para a prova):
- Em problemas de distância mínima a uma curva, prefira minimizar o quadrado da distância e eliminar uma variável usando a equação da curva, resultando em uma função de uma variável. Depois use derivada primeira para achar críticos e segunda derivada (ou comportamento de limite) para confirmar mínimo. Isso evita lidar com raízes desnecessárias e com multiplicadores de Lagrange quando não são necessários.