Extremos em uma circunferência. Encontre os valores extremos de f(x, y)=x y sujeitos à restrição g(x, y)=x^{2}+y^{2}-10=0.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • A função a ser otimizada é f(x,y)=x y.
  • A restrição é g(x,y)=x^{2}+y^{2}-10=0, ou seja, os pontos (x,y) estão sobre a circunferência de raio \sqrt{10} centrada na origem.
  • Pergunta: encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de f quando (x,y) percorre essa circunferência, e também os pontos onde esses extremos ocorrem.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O domínio considerado é o conjunto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=10\}, que é fechado e limitado (uma circunferência), então f atinge máximo e mínimo nesse conjunto.
  • Precisaremos analisar os pontos da circunferência e determinar quais dão os maiores e menores valores de f.

Passo 2

Escolha do método e ideia por trás (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Método escolhido: usar multiplicadores de Lagrange. Intuição simples e direta: em um ponto extremo sujeito a uma restrição que define uma curva, a direção de maior variação de f (o gradiente de f) deve ser paralela à normal da curva de restrição (o gradiente de g). Isso leva à condição \nabla f=\lambda \nabla g, com \lambda sendo o multiplicador de Lagrange.
  • O que é gradiente: para uma função de duas variáveis h(x,y), o gradiente \nabla h é o vetor das derivadas parciais,
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y}\right).
Esse vetor aponta na direção de maior aumento de h. Para uma curva definida por g(x,y)=0, o vetor \nabla g é normal à curva em cada ponto.
  • Portanto, a condição para um extremo sujeito à restrição é resolver o sistema
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)
junto com a própria restrição g(x,y)=0.
  • Vamos aplicar isso explicitamente: calcular gradientes, montar as equações, resolver para x,y,\lambda e depois avaliar f nos pontos candidatos.

Passo 3

Cálculo dos gradientes e escrita do sistema de Lagrange:
  • Calcular \nabla f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(xy),\frac{\partial}{\partial y}(xy)\right)=(y,x).
  • Calcular \nabla g:
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}-10),\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}-10)\right)=(2x,2y).
  • Impor \nabla f=\lambda \nabla g e a restrição:
(y,x)=\lambda(2x,2y)
e
x^{2}+y^{2}=10.
  • Isso gera o sistema de duas equações (componentes) mais a restrição:
y=2\lambda x, \qquad x=2\lambda y, \qquad x^{2}+y^{2}=10.

Passo 4

Resolver o sistema de equações de Lagrange (passo a passo):
  • Multiplicar as duas primeiras equações termo a termo: y\cdot x = (2\lambda x)\cdot(2\lambda y). Assim
xy = 4\lambda^{2} xy.
  • Reescrever como
(4\lambda^{2}-1)xy=0.
Isso dá duas possibilidades: (A) xy=0 ou (B) 4\lambda^{2}-1=0.
Tratar cada caso:
Caso (A): xy=0.
  • Se x=0, pela restrição x^{2}+y^{2}=10 vem y=\pm\sqrt{10}. Mas checar as equações de Lagrange originais: y=2\lambda x fica y=0, o que contradiz y=\pm\sqrt{10}. Portanto x=0 não satisfaz simultaneamente as equações de Lagrange (não é solução do sistema com \lambda finito).
  • Se y=0, análogo: a restrição daria x=\pm\sqrt{10}, e a equação x=2\lambda y x=0, contradição. Logo as soluções com xy=0 não cumprem as duas eqs de Lagrange simultaneamente — portanto não são pontos críticos obtidos por este método. Observação: esses pontos existem na circunferência e dão f=0, mas não serão máximos nem mínimos globais aqui (vamos comparar depois).
Caso (B): 4\lambda^{2}-1=0.
  • Então 4\lambda^{2}=1 e \lambda=\pm\frac{1}{2}.
Subcaso \lambda=\frac{1}{2}:
  • Pela primeira equação y=2\lambda x vem y=2\cdot\frac{1}{2}x=x. Assim y=x.
  • Substituir na restrição:
x^{2}+x^{2}=10 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=10 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{5}.
  • Então temos dois pontos candidatos: \big(\sqrt{5},\sqrt{5}\big) e \big(-\sqrt{5},-\sqrt{5}\big).
Subcaso \lambda=-\frac{1}{2}:
  • Pela primeira equação y=2\lambda x vem y=2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)x=-x. Assim y=-x.
  • Substituir na restrição:
x^{2}+(-x)^{2}=2x^{2}=10 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{5}.
  • Então temos dois pontos candidatos: \big(\sqrt{5},-\sqrt{5}\big) e \big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big).
Resumo dos candidatos encontrados pelos multiplicadores de Lagrange:
  • \big(\sqrt{5},\sqrt{5}\big), \big(-\sqrt{5},-\sqrt{5}\big), \big(\sqrt{5},-\sqrt{5}\big), \big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big).
  • Além disso há os pontos em que xy=0: \big(\pm\sqrt{10},0\big) e \big(0,\pm\sqrt{10}\big) (estão na circunferência), que dão f=0. Vamos avaliá-los também para comparar valores.

Passo 5

Avaliar f nos pontos candidatos (muito importante: sempre calcular os valores e comparar):
  • Para \big(\sqrt{5},\sqrt{5}\big):
f(\sqrt{5},\sqrt{5})=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5.
  • Para \big(-\sqrt{5},-\sqrt{5}\big):
f(-\sqrt{5},-\sqrt{5})=(-\sqrt{5})(-\sqrt{5})=5.
  • Para \big(\sqrt{5},-\sqrt{5}\big):
f(\sqrt{5},-\sqrt{5})=\sqrt{5}\cdot(-\sqrt{5})=-5.
  • Para \big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big):
f(-\sqrt{5},\sqrt{5})=(-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=-5.
  • Para os pontos com produto nulo \big(\pm\sqrt{10},0\big) e \big(0,\pm\sqrt{10}\big):
f=0.
Comparação dos valores:
  • Os maiores valores entre os avaliados são 5.
  • Os menores são -5.
  • O valor 0 aparece em pontos que não são máximos nem mínimos globais aqui, pois -5<0<5.
Dica de verificação alternativa (curva paramétrica, útil na prova para checar rapidez): parametrizar a circunferência por
x=\sqrt{10}\cos t,\qquad y=\sqrt{10}\sin t.
Então
f(x,y)=xy=10\cos t\sin t=5\sin(2t),
o que tem máximo 5 e mínimo -5 quando \sin(2t)=\pm1, produzindo exatamente os pontos encontrados acima. Isso confirma os resultados.

Passo 6

Interpretação final e resumo didático (como usar isso na prova):
  • Sempre que tiver uma função a otimizar sobre uma curva dada por g(x,y)=0, aplique multiplicadores de Lagrange: calcule \nabla f e \nabla g e resolva \nabla f=\lambda\nabla g junto com g=0.
  • Não esquecer de checar pontos onde a condição pode falhar (por exemplo, onde \nabla g=0), e também verificar quaisquer pontos especiais da restrição (aqui pontos com xy=0). Em nosso caso, \nabla g=(2x,2y) não é zero sobre a circunferência, então o método padrão funciona.
  • Conferir rapidamente com uma parametrização da curva é uma boa maneira de checar o resultado sem erro algébrico.

Resposta

Máximo global: f_{\max}=5 em \big(\sqrt{5},\sqrt{5}\big) e em \big(-\sqrt{5},-\sqrt{5}\big).
Mínimo global: f_{\min}=-5 em \big(\sqrt{5},-\sqrt{5}\big) e em \big(-\sqrt{5},\sqrt{5}\big).

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