Extremos em uma circunferência. Encontre os valores extremos de
sujeitos à restrição
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- A função a ser otimizada é
. - A restrição é
, ou seja, os pontos estão sobre a circunferência de raio centrada na origem. - Pergunta: encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de
quando percorre essa circunferência, e também os pontos onde esses extremos ocorrem.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O domínio considerado é o conjunto
, que é fechado e limitado (uma circunferência), então atinge máximo e mínimo nesse conjunto. - Precisaremos analisar os pontos da circunferência e determinar quais dão os maiores e menores valores de
.
Passo 2
Escolha do método e ideia por trás (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Método escolhido: usar multiplicadores de Lagrange. Intuição simples e direta: em um ponto extremo sujeito a uma restrição que define uma curva, a direção de maior variação de
(o gradiente de ) deve ser paralela à normal da curva de restrição (o gradiente de ). Isso leva à condição , com sendo o multiplicador de Lagrange. - O que é gradiente: para uma função de duas variáveis
, o gradiente é o vetor das derivadas parciais,
Esse vetor aponta na direção de maior aumento de
. Para uma curva definida por
, o vetor
é normal à curva em cada ponto.
- Portanto, a condição para um extremo sujeito à restrição é resolver o sistema
junto com a própria restrição
.
- Vamos aplicar isso explicitamente: calcular gradientes, montar as equações, resolver para
e depois avaliar nos pontos candidatos.
Passo 3
Cálculo dos gradientes e escrita do sistema de Lagrange:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Impor
e a restrição:
e
- Isso gera o sistema de duas equações (componentes) mais a restrição:
Passo 4
Resolver o sistema de equações de Lagrange (passo a passo):
- Multiplicar as duas primeiras equações termo a termo:
. Assim
- Reescrever como
Isso dá duas possibilidades: (A)
ou (B)
.
Tratar cada caso:
Caso (A):
.
- Se
, pela restrição vem . Mas checar as equações de Lagrange originais: fica , o que contradiz . Portanto não satisfaz simultaneamente as equações de Lagrange (não é solução do sistema com finito). - Se
, análogo: a restrição daria , e a equação dá , contradição. Logo as soluções com não cumprem as duas eqs de Lagrange simultaneamente — portanto não são pontos críticos obtidos por este método. Observação: esses pontos existem na circunferência e dão , mas não serão máximos nem mínimos globais aqui (vamos comparar depois).
Caso (B):
.
- Então
e .
Subcaso
:
- Pela primeira equação
vem . Assim . - Substituir na restrição:
- Então temos dois pontos candidatos:
e .
Subcaso
:
- Pela primeira equação
vem . Assim . - Substituir na restrição:
- Então temos dois pontos candidatos:
e .
Resumo dos candidatos encontrados pelos multiplicadores de Lagrange:
-
, , , . - Além disso há os pontos em que
: e (estão na circunferência), que dão . Vamos avaliá-los também para comparar valores.
Passo 5
Avaliar
nos pontos candidatos (muito importante: sempre calcular os valores e comparar):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para os pontos com produto nulo
e :
Comparação dos valores:
- Os maiores valores entre os avaliados são
. - Os menores são
. - O valor
aparece em pontos que não são máximos nem mínimos globais aqui, pois .
Dica de verificação alternativa (curva paramétrica, útil na prova para checar rapidez): parametrizar a circunferência por
Então
o que tem máximo
e mínimo
quando
, produzindo exatamente os pontos encontrados acima. Isso confirma os resultados.
Passo 6
Interpretação final e resumo didático (como usar isso na prova):
- Sempre que tiver uma função a otimizar sobre uma curva dada por
, aplique multiplicadores de Lagrange: calcule e e resolva junto com . - Não esquecer de checar pontos onde a condição pode falhar (por exemplo, onde
), e também verificar quaisquer pontos especiais da restrição (aqui pontos com ). Em nosso caso, não é zero sobre a circunferência, então o método padrão funciona. - Conferir rapidamente com uma parametrização da curva é uma boa maneira de checar o resultado sem erro algébrico.
Resposta
Máximo global:
em
e em
.
Mínimo global: em
e em
.
Mínimo global: