Em certa cidade são editados três jornais: A, B e C. Seja H um habitante dessa cidade. Representar, pela álgebra de eventos, os seguintes acontecimentos:
“H lê somente um dos jornais”;

Passo 1

O enunciado diz que, numa cidade, existem três jornais: A, B e C. Seja H um habitante dessa cidade. A pergunta é: representar, usando álgebra de eventos, o acontecimento
“H lê somente um dos jornais”.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Existem três jornais: A, B e C.
  • Queremos o evento “ H lê somente um dos jornais” — ou seja, exatamente um entre A, B e C ocorre.
  • Não há outras informações numéricas; só é necessário escrever o evento em termos de operações entre eventos (união, interseção, complemento, etc.).

Passo 2

Definir notação (útil para não confundir):
  • Denotar por A o evento “ H lê o jornal A”.
  • Denotar por B o evento “ H lê o jornal B”.
  • Denotar por C o evento “ H lê o jornal C”.
  • O complemento de um evento A (ou seja, “ H não lê A”) será escrito como A^c.
  • As operações básicas:
    • \cap é interseção (acontecem ambos os eventos),
    • \cup é união (acontece pelo menos um dos eventos),
    • \setminus é diferença de conjuntos (ocorre o primeiro e não o segundo).
Vou explicar de forma bem concreta: “ler somente A” significa que A ocorre e, ao mesmo tempo, B e C não ocorrem; isso é o evento A\cap B^c\cap C^c. Analogamente para B e C.

Passo 3

Construir os três casos disjuntos (cada caso corresponde a ler exatamente um jornal):
  • “Lê somente A”: \;A\cap B^c\cap C^c.
  • “Lê somente B”: \;A^c\cap B\cap C^c.
  • “Lê somente C”: \;A^c\cap B^c\cap C.
Expliquei: cada expressão diz “esse jornal sim” e “os outros não”, usando complementos para os que não são lidos.

Passo 4

Unir os três casos para obter o evento “lê somente um dos jornais”. Como os três eventos acima são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), o evento procurado é a união deles:
\bigl(A\cap B^c\cap C^c\bigr)\;\cup\;\bigl(A^c\cap B\cap C^c\bigr)\;\cup\;\bigl(A^c\cap B^c\cap C\bigr).
Isso representa “ocorre exatamente um entre A,B,C”.

Passo 5

Apresentar formas alternativas (úteis em provas):
  • Uso de diferença de conjuntos:
(A\cup B\cup C)\setminus\bigl((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\bigr),
que significa “ocorre pelo menos um, menos os casos em que ocorrem dois ou três” — resta justamente os casos em que ocorre exatamente um.
  • Aviso curto: a operação XOR de três eventos (escrever A\oplus B\oplus C) nem sempre representa “exatamente um” porque retorna verdadeiro para 1 ou 3 eventos verdadeiros; por isso não é correta aqui.

Passo 6

Resumo didático-final: a expressão mais direta e clara para “ H lê somente um dos jornais” é a união das três interseções onde um ocorre e os outros não, já mostrada. Essa forma é a que costuma aparecer em provas e facilita calcular probabilidades somando probabilidades de eventos disjuntos, se necessário.

Resposta

\bigl(A\cap B^c\cap C^c\bigr)\;\cup\;\bigl(A^c\cap B\cap C^c\bigr)\;\cup\;\bigl(A^c\cap B^c\cap C\bigr)

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