Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada a seguir. Encontre a esperança de X.
X -2 0 2
p_{i} 1 / 3 1 / 3 1 / 3

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com a função de probabilidade indicada na tabela e pede para encontrar a esperança (valor esperado) de X.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela):
  • Os valores possíveis de X são -2, 0 e 2.
  • As probabilidades correspondentes são p_1=\tfrac{1}{3}, p_2=\tfrac{1}{3} e p_3=\tfrac{1}{3}.
O que o problema pergunta:
  • Calcular a esperança de X, isto é E[X].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição da esperança para variável aleatória discreta):
E[X]=\sum_{i} x_i p_i.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • x_i representam os valores que a variável X pode assumir.
  • p_i representam as probabilidades associadas a cada x_i.
  • A esperança é a média ponderada dos valores x_i, onde cada valor é ponderado pela sua probabilidade. Intuitivamente: é o “centro de massa” da distribuição de probabilidade.

Passo 3

Identifico os pares (x_i,p_i) a partir da tabela (estou pegando os dados da tabela):
  • x_1=-2 com p_1=\tfrac{1}{3}.
  • x_2=0 com p_2=\tfrac{1}{3}.
  • x_3=2 com p_3=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calculo cada termo x_i p_i:
x_1 p_1 = (-2)\cdot \tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{3},
x_2 p_2 = 0\cdot \tfrac{1}{3} = 0,
x_3 p_3 = 2\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Somando os termos para obter E[X]:
E[X]=-\tfrac{2}{3}+0+\tfrac{2}{3} = 0.
Comentário didático rápido: aqui os termos -\tfrac{2}{3} e \tfrac{2}{3} se cancelam — isso acontece porque a distribuição é simétrica em relação a 0 com probabilidades iguais nos valores -2 e 2.

Passo 6

Conclusão final: a esperança (valor esperado) da variável aleatória X é 0. Força aí nos estudos — você já domina a ideia central: é só média ponderada!

Resposta

0

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