Certa cidade tem 20 mil habitantes e 3 rádios
e C . Uma pesquisa revelou que:
- 12 mil escutam A
- 8 mil escutam B
- 4500 escutam A e C
- 7 mil escutam A e B
- Mil escutam B e C
- 6 mil escutam C
- 500 escutam A, B e C
Qual é a probabilidade de que um habitante escute:
(a) ( 1 pt) nenhuma das rádios?
(b) ( 1 pt) exatamente duas rádios?
(c) ( 1 pt ) ao menos duas rádios?
(a) ( 1 pt) nenhuma das rádios?
(b) ( 1 pt) exatamente duas rádios?
(c) ( 1 pt ) ao menos duas rádios?
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado nos deu (todos os números abaixo estão em unidades de habitantes) e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- População total:
. - Número que escutam
: . - Número que escutam
: . - Número que escutam
: . - Número que escutam
: . - Número que escutam
: . - Número que escutam
: . - Número que escutam
: .
O enunciado pede:
(a) a probabilidade de que um habitante escute nenhuma das rádios;
(b) a probabilidade de que escute exatamente duas rádios;
(c) a probabilidade de que escute ao menos duas rádios.
(a) a probabilidade de que um habitante escute nenhuma das rádios;
(b) a probabilidade de que escute exatamente duas rádios;
(c) a probabilidade de que escute ao menos duas rádios.
Passo 2
Entender a ferramenta principal: princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. Ele diz que o número de elementos que escutam pelo menos uma das rádios (ou seja,
) é
Explicando cada termo de forma simples:
- soma individual
conta todo mundo que escuta cada rádio; - subtraímos os pares
porque esses foram contados duas vezes na soma; - mas então removemos quem está nos três conjuntos três vezes, por isso adicionamos
no final (correção da subtração dupla).
Também preciso do conceito “exatamente duas”: para, por exemplo, escutar exatamente
e
(mas não
) o número é
O mesmo vale para os outros pares. Então o total que escuta exatamente duas rádios é a soma dos três “pares somente”.
Para transformar contagens em probabilidades: se um evento tem
pessoas, a probabilidade de escolher aleatoriamente uma pessoa que esteja no evento é
.
Passo 3
Calcular quantas pessoas escutam pelo menos uma das rádios usando inclusão-exclusão. Substituindo os números fornecidos:
Agora faço as somas passo a passo:
portanto
Logo
habitantes escutam pelo menos uma rádio.]
Passo 4
Calcular quantas pessoas não escutam nenhuma rádio. Como a população total é
,
Converter para probabilidade:
Passo 5
Calcular quantas pessoas escutam exatamente duas rádios. Para cada par:
- Exatamente
e (mas não ):
- Exatamente
e (mas não ):
- Exatamente
e (mas não ):
Somando os três:
Probabilidade correspondente:
(Fazendo um cheque rápido de consistência: quem escuta exatamente uma rádio pode ser calculado por
para cada rádio; somando dá
. Então
dá o total do conjunto união — consistente.)
Passo 6
Calcular a probabilidade de que escute ao menos duas rádios. “Ao menos duas” inclui quem escuta exatamente duas e quem escuta as três. Então em número de pessoas:
Probabilidade:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)