Certa cidade tem 20 mil habitantes e 3 rádios \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . Uma pesquisa revelou que:
  • 12 mil escutam A
  • 8 mil escutam B
  • 4500 escutam A e C
  • 7 mil escutam A e B
  • Mil escutam B e C
  • 6 mil escutam C
  • 500 escutam A, B e C
Qual é a probabilidade de que um habitante escute:
(a) ( 1 pt) nenhuma das rádios?
(b) ( 1 pt) exatamente duas rádios?
(c) ( 1 pt ) ao menos duas rádios?

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado nos deu (todos os números abaixo estão em unidades de habitantes) e o que é pedido.
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
  • População total: N=20000.
  • Número que escutam A: |A|=12000.
  • Número que escutam B: |B|=8000.
  • Número que escutam C: |C|=6000.
  • Número que escutam A\cap B: |A\cap B|=7000.
  • Número que escutam A\cap C: |A\cap C|=4500.
  • Número que escutam B\cap C: |B\cap C|=1000.
  • Número que escutam A\cap B\cap C: |A\cap B\cap C|=500.
O enunciado pede:
(a) a probabilidade de que um habitante escute nenhuma das rádios;
(b) a probabilidade de que escute exatamente duas rádios;
(c) a probabilidade de que escute ao menos duas rádios.

Passo 2

Entender a ferramenta principal: princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. Ele diz que o número de elementos que escutam pelo menos uma das rádios (ou seja, |A\cup B\cup C|) é
|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.
Explicando cada termo de forma simples:
  • soma individual |A|+|B|+|C| conta todo mundo que escuta cada rádio;
  • subtraímos os pares |A\cap B|,|A\cap C|,|B\cap C| porque esses foram contados duas vezes na soma;
  • mas então removemos quem está nos três conjuntos três vezes, por isso adicionamos |A\cap B\cap C| no final (correção da subtração dupla).
Também preciso do conceito “exatamente duas”: para, por exemplo, escutar exatamente A e B (mas não C) o número é
|A\cap B\text{ somente}|=|A\cap B|-|A\cap B\cap C|.
O mesmo vale para os outros pares. Então o total que escuta exatamente duas rádios é a soma dos três “pares somente”.
Para transformar contagens em probabilidades: se um evento tem k pessoas, a probabilidade de escolher aleatoriamente uma pessoa que esteja no evento é \dfrac{k}{N}.

Passo 3

Calcular quantas pessoas escutam pelo menos uma das rádios usando inclusão-exclusão. Substituindo os números fornecidos:
\begin{aligned} |A\cup B\cup C|&=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\\[4pt] &=12000+8000+6000-7000-4500-1000+500. \end{aligned}
Agora faço as somas passo a passo:
12000+8000+6000=26000,
7000+4500+1000=12500,
portanto
|A\cup B\cup C|=26000-12500+500=13500+500=14000.
Logo 14000 habitantes escutam pelo menos uma rádio.]

Passo 4

Calcular quantas pessoas não escutam nenhuma rádio. Como a população total é N=20000,
\text{nenhuma} = N-|A\cup B\cup C|=20000-14000=6000.
Converter para probabilidade:
P(\text{nenhuma})=\frac{6000}{20000}=\frac{3}{10}=0,3=30\%.

Passo 5

Calcular quantas pessoas escutam exatamente duas rádios. Para cada par:
  • Exatamente A e B (mas não C):
|A\cap B\\ \text{somente}|=|A\cap B|-|A\cap B\cap C|=7000-500=6500.
  • Exatamente A e C (mas não B):
|A\cap C\\ \text{somente}|=|A\cap C|-|A\cap B\cap C|=4500-500=4000.
  • Exatamente B e C (mas não A):
|B\cap C\\ \text{somente}|=|B\cap C|-|A\cap B\cap C|=1000-500=500.
Somando os três:
\text{exatamente duas} =6500+4000+500=11000.
Probabilidade correspondente:
P(\text{exatamente duas})=\frac{11000}{20000}=\frac{11}{20}=0,55=55\%.
(Fazendo um cheque rápido de consistência: quem escuta exatamente uma rádio pode ser calculado por |A|-(A\cap B)-(A\cap C)+ (A\cap B\cap C) para cada rádio; somando dá 1000+500+1000=2500. Então 2500+11000+500=14000 dá o total do conjunto união — consistente.)

Passo 6

Calcular a probabilidade de que escute ao menos duas rádios. “Ao menos duas” inclui quem escuta exatamente duas e quem escuta as três. Então em número de pessoas:
\text{ao menos duas} = \text{exatamente duas} + |A\cap B\cap C| = 11000+500=11500.
Probabilidade:
P(\text{ao menos duas})=\frac{11500}{20000}=\frac{23}{40}=0,575=57,5\%.

Resposta

(a) \dfrac{6000}{20000}=\dfrac{3}{10}=0,3=30\%
(b) \dfrac{11000}{20000}=\dfrac{11}{20}=0,55=55\%
(c) \dfrac{11500}{20000}=\dfrac{23}{40}=0,575=57,5\%

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