Há 1 bola vermelha e 1 azul na urna
. A urna
contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao acaso de
e colocada em
. Uma bola então é extraída ao acaso de B . Qual é a probabilidade de
(a) (1 pt) retirar uma bola vermelha de
e uma bola vermelha de
?
(b) (1 pt) retirar uma bola azul de
?
(c) (1 pt) que tenha sido retirada uma bola azul de
, sabendo que foi retirada uma bola azul de
?
(d) ( 1 pt) ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?
(a) (1 pt) retirar uma bola vermelha de
(b) (1 pt) retirar uma bola azul de
(c) (1 pt) que tenha sido retirada uma bola azul de
(d) ( 1 pt) ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Informações dadas:
- A urna
contém bola vermelha e bola azul. - A urna
contém bolas vermelhas e bolas azuis. - Procedimento: tira-se uma bola de
e coloca-se em . Em seguida tira-se uma bola de (após a transferência).
- A urna
- Perguntas (quais probabilidades pedir):
- (a) Qual a probabilidade de retirar uma bola vermelha de
e, em seguida, retirar uma bola vermelha de ? - (b) Qual a probabilidade de retirar uma bola azul de
(no segundo sorteio, depois da transferência) ? - (c) Qual a probabilidade de que a bola transferida de
tenha sido azul, sabendo que a bola retirada de foi azul ? (probabilidade condicional) - (d) Qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas (a de
e a de ) sejam da mesma cor?
- (a) Qual a probabilidade de retirar uma bola vermelha de
Passo 2
Definindo eventos e probabilidades iniciais (muito importante para organizar os cálculos).
- Seja
o evento “a bola transferida de para é vermelha”. - Seja
o evento “a bola transferida de para é azul”. - Probabilidades iniciais em
: -
, porque em há vermelha e azul. -
.
-
- Notação para o sorteio final em
: - Seja
o evento “a bola retirada de é vermelha”. - Seja
o evento “a bola retirada de é azul”.
- Seja
- Observação: após a transferência a composição de
depende de ou . Vou determinar essas composições no passo seguinte.
Passo 3
Determinar as composições de
após cada tipo de transferência e as probabilidades condicionais de tirar cada cor de
.
- Se
ocorreu (transferiu uma vermelha): passa a ter vermelhas e azuis, total . Logo -
- Se
ocorreu (transferiu uma azul): passa a ter vermelhas e azuis, total . Logo -
Passo 4
Calcular (a): probabilidade de retirar uma vermelha de
e uma vermelha de
.
- Regra usada: para dois eventos sequenciais dependentes,
. Aqui “A” = e “B” = . - Portanto
Passo 5
Calcular (b): probabilidade de retirar uma bola azul de
no segundo sorteio.
- Usar o Teorema da Probabilidade Total: se
e formam uma partição (casos mutuamente exclusivos e cobrindo todas as possibilidades), então - Substituindo os valores do Passo 3:
Passo 6
Calcular (c): probabilidade de que a bola retirada de
tenha sido azul sabendo que a bola retirada de
foi azul, ou seja
.
- Usar a Fórmula de Bayes:
- Já temos
, e (do Passo 5). Então
Passo 7
Calcular (d): probabilidade de que ambas as bolas retiradas (a de
e a de
) sejam da mesma cor.
- Esses são dois casos mutuamente exclusivos: (i) ambas vermelhas; (ii) ambas azuis. Então
- Já calculamos
no Passo 4. - Calcular
- Somando:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)