Há 1 bola vermelha e 1 azul na urna A. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B . Qual é a probabilidade de
(a) (1 pt) retirar uma bola vermelha de A e uma bola vermelha de B ?
(b) (1 pt) retirar uma bola azul de B ?
(c) (1 pt) que tenha sido retirada uma bola azul de A, sabendo que foi retirada uma bola azul de B ?
(d) ( 1 pt) ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Informações dadas:
    • A urna A contém 1 bola vermelha e 1 bola azul.
    • A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas azuis.
    • Procedimento: tira-se uma bola de A e coloca-se em B. Em seguida tira-se uma bola de B (após a transferência).
  • Perguntas (quais probabilidades pedir):
    • (a) Qual a probabilidade de retirar uma bola vermelha de A e, em seguida, retirar uma bola vermelha de B ?
    • (b) Qual a probabilidade de retirar uma bola azul de B (no segundo sorteio, depois da transferência) ?
    • (c) Qual a probabilidade de que a bola transferida de A tenha sido azul, sabendo que a bola retirada de B foi azul ? (probabilidade condicional)
    • (d) Qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas (a de A e a de B) sejam da mesma cor?

Passo 2

Definindo eventos e probabilidades iniciais (muito importante para organizar os cálculos).
  • Seja T_R o evento “a bola transferida de A para B é vermelha”.
  • Seja T_B o evento “a bola transferida de A para B é azul”.
  • Probabilidades iniciais em A:
    • \Pr(T_R)=\dfrac{1}{2}, porque em A 1 vermelha e 1 azul.
    • \Pr(T_B)=\dfrac{1}{2}.
  • Notação para o sorteio final em B:
    • Seja R_B o evento “a bola retirada de B é vermelha”.
    • Seja B_B o evento “a bola retirada de B é azul”.
  • Observação: após a transferência a composição de B depende de T_R ou T_B. Vou determinar essas composições no passo seguinte.

Passo 3

Determinar as composições de B após cada tipo de transferência e as probabilidades condicionais de tirar cada cor de B.
  • Se T_R ocorreu (transferiu uma vermelha): B passa a ter 2+1=3 vermelhas e 3 azuis, total 6. Logo
    • \Pr(R_B \mid T_R)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    • \Pr(B_B \mid T_R)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
  • Se T_B ocorreu (transferiu uma azul): B passa a ter 2 vermelhas e 3+1=4 azuis, total 6. Logo
    • \Pr(R_B \mid T_B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
    • \Pr(B_B \mid T_B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.

Passo 4

Calcular (a): probabilidade de retirar uma vermelha de A e uma vermelha de B.
  • Regra usada: para dois eventos sequenciais dependentes, \Pr(\text{A e B})=\Pr(\text{A})\cdot\Pr(\text{B}\mid\text{A}). Aqui “A” = T_R e “B” = R_B.
  • Portanto \Pr(T_R\\ \text{e}\\ R_B)=\Pr(T_R)\cdot\Pr(R_B\mid T_R) =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular (b): probabilidade de retirar uma bola azul de B no segundo sorteio.
  • Usar o Teorema da Probabilidade Total: se T_R e T_B formam uma partição (casos mutuamente exclusivos e cobrindo todas as possibilidades), então \Pr(B_B)=\Pr(T_R)\Pr(B_B\mid T_R)+\Pr(T_B)\Pr(B_B\mid T_B).
  • Substituindo os valores do Passo 3: \Pr(B_B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}.

Passo 6

Calcular (c): probabilidade de que a bola retirada de A tenha sido azul sabendo que a bola retirada de B foi azul, ou seja \Pr(T_B\mid B_B).
  • Usar a Fórmula de Bayes: \Pr(T_B\mid B_B)=\dfrac{\Pr(T_B)\Pr(B_B\mid T_B)}{\Pr(B_B)}.
  • Já temos \Pr(T_B)=\dfrac{1}{2}, \Pr(B_B\mid T_B)=\dfrac{2}{3} e \Pr(B_B)=\dfrac{7}{12} (do Passo 5). Então \Pr(T_B\mid B_B)=\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}}{\tfrac{7}{12}} =\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{7}{12}} =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{12}{7}=\dfrac{4}{7}.

Passo 7

Calcular (d): probabilidade de que ambas as bolas retiradas (a de A e a de B) sejam da mesma cor.
  • Esses são dois casos mutuamente exclusivos: (i) ambas vermelhas; (ii) ambas azuis. Então \Pr(\text{mesma cor})=\Pr(\text{vermelha-vermelha})+\Pr(\text{azul-azul}).
  • Já calculamos \Pr(\text{vermelha-vermelha})=\Pr(T_R\\ \text{e}\\ R_B)=\dfrac{1}{4} no Passo 4.
  • Calcular \Pr(\text{azul-azul})=\Pr(T_B\\ \text{e}\\ B_B)=\Pr(T_B)\Pr(B_B\mid T_B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.
  • Somando: \Pr(\text{mesma cor})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{7}{12}.

Resposta

(a) \dfrac{1}{4}
(b) \dfrac{7}{12}
(c) \dfrac{4}{7}
(d) \dfrac{7}{12}

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