Certa densidade de corrente é expressa em coordenadas cilíndricas por: J=100 e^-2 z(rho arho+az) A / m^2. Determine a corrente total que atravessa cada uma das seguintes superfícies: (a) z=0,0 <= rho <= 1, na direção az; (b) z=1,0 <= rho <= 1, na direção az; © cilindro fechado 0 <= z <= 1,0 <= rho <= 1, na direção radial, apontando para fora.

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede é calcular a corrente total
I ;=;integral duplaS vec Jcdothat n,dS
através de três superfícies em coordenadas cilíndricas, sabendo que
vec J(rho,phi,z)=100,e^-2zl(rho,hat arho+hat azr)l[A/m^2r]
As superfícies são:
(a) o disco em , , normal ;
(b) o disco em , mesmo raio, mesma normal ;
© a casca lateral do cilindro , , normal pra fora .
Pra resolver a gente vai usar:
  1. .
  2. Em cilíndricas, no disco .
  3. Na lateral do cilindro (aqui ).

Passo 2

(a) superfície em Ia=integral0^2pi!integral0^1 100;rho,drho,dphi =100,(2pi),integral0^1rho,drho =100cdot2picdot12 =100pi .
  1. A normal é .
  2. O produto escalar .
  3. O elemento de área é .
  4. Logo

Passo 3

(b) superfície em Ib=integral0^2pi!integral0^1 100e^-2;rho,drho,dphi =100e^-2,2pi,12 =100pi,e^-2 .
  1. Continua .
  2. Agora .
  3. Mesmo .
  4. Então

Passo 4

© casca lateral Ic =integral0^2pi!integral0^1 100e^-2z;d z,dphi =100,(2pi)integral0^1 e^-2zdz =200pil[-tfrac12e^-2zr]0^1 =100pil(1-e^-2r) , .
  1. A normal é .
  2. O produto , mas aqui , logo .
  3. O elemento de área lateral é , com , fica .
  4. Então

Resposta

(a) A
(b) A
© A

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