Em uma região próxima à origem, há uma densidade de corrente apontando radialmente para fora, dada por 10 r^-1,5 A / m^2. (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica r=1 mm ?
(b) Repita para r=2 mm.
© Qual é a taxa de variação de rho para r=1 mm ?
(d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera r=1 mm ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que perto da origem a densidade de corrente é
vec J(r)=10,r^-1.5,hat r[A/m^2],,
e pede:
(a) a corrente que sai de uma esfera de raio ;
(b) mesma coisa para ;
© a taxa de variação de em ;
(d) a taxa de variação da carga dentro dessa esfera de .
O que vamos usar:
  • integral de superfície ;
  • fórmula da divergência em coordenadas esféricas (só componente radial):
    ;
  • equação de continuidade
    .

Passo 2

(a) Corrente na esfera I =integralrm esferavec Jcdot dvec A =J(r0),4pi r0^2 =10,r0^-1.5times4pi r0^2 =40pi,r0^0.5 :
I(1rm,mm)=40pitimes0.03162approx3.97rm,A
Como ,

Passo 3

(b) Para I(2rm,mm) =40pi,(0.002)^0.5 =40pitimes0.04472 approx5.62rm,A :

Passo 4

(c.1) Primeiro achamos a divergência em geral:
nablacdotvec J =1r^2ddrl(r^2cdot10,r^-1.5r) =1r^2ddrl(10,r^0.5r) =5,r^-0.5r^2 =5,r^-2.5[A/m^3]

Passo 5

(c.2) Pela equação de continuidade
partialrhopartial t =-5,(0.001)^-2.5 =-5times10^7.5 approx-1.58times10^8;C/(m^3cdot s) .
Em :

Passo 6

(d) A taxa de variação da carga total dentro de dQdt =-integralVnablacdotvec J,dV =-integral0^r05,r^-2.5,4pi r^2dr =-40pi,r0^0.5 é
dQdt =-40pitimes0.03162 approx-3.97rm,C/s,
Para , isso dá
ou seja, a carga dentro da esfera está diminuindo a .

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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