Em uma região próxima à origem, há uma densidade de corrente apontando radialmente para fora, dada por
. (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica
?
(b) Repita para
.
© Qual é a taxa de variação de
para
?
(d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera
?
(b) Repita para
© Qual é a taxa de variação de
(d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que perto da origem a densidade de corrente é
e pede:
(a) a corrente que sai de uma esfera de raio ;
(b) mesma coisa para ;
© a taxa de variação de em
;
(d) a taxa de variação da carga dentro dessa esfera de .
(a) a corrente que sai de uma esfera de raio
(b) mesma coisa para
© a taxa de variação de
(d) a taxa de variação da carga dentro dessa esfera de
O que vamos usar:
- integral de superfície
; - fórmula da divergência em coordenadas esféricas (só componente radial):
; - equação de continuidade
.
Passo 2
(a) Corrente na esfera
:
Como
,
Passo 3
(b) Para
:
Passo 4
(c.1) Primeiro achamos a divergência em geral:
Passo 5
(c.2) Pela equação de continuidade
.
Em :
Em
Passo 6
(d) A taxa de variação da carga total dentro de
é
Para
, isso dá
ou seja, a carga dentro da esfera está diminuindo a
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)