Se o preço das árvores da segunda classe for de \ 30e as da terceira classe,$50$, qual classe deveria ser totalmente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo? Qual é o rendimento ótimo se houver 100 árvores na floresta?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
As três classes são “classes de altura” (classe 1, classe 2, classe 3). A interpretação padrão é que a coluna j indica como as árvores que estão na classe j no corte atual se distribuem nas classes no próximo corte.
Os preços são: árvores da segunda classe valem \$30 e as da terceira classe valem \$50. (O enunciado não dá preço para a primeira classe — podemos supor preço nulo ou irrelevante.)
Perguntas:
Qual classe deveria ser totalmente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo?
Qual é o rendimento ótimo se houver 100 árvores na floresta?
Na resolução que vem a seguir vou:
Explicar passo a passo como interpretar a matriz G (o que cada entrada significa).
Usar essa interpretação para encontrar a distribuição de longo prazo das árvores entre as classes (distribuição estável).
A partir dessa distribuição estável, determinar qual classe rende mais receita por árvore no longo prazo e, portanto, qual classe convém cortar para maximizar rendimento sustentável.
Calcular o rendimento ótimo quando há 100 árvores.
Passo 2
Entendendo a matriz G — o que significam suas entradas e como usar isso.
Notação: escrevo o vetor de populações nas três classes num corte comox = \begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{pmatrix},onde x_1 é o número de árvores na classe 1, x_2 na classe 2 e x_3 na classe 3, imediatamente após um corte (ou no instante em que fazemos a projeção para o próximo corte).
A dinâmica sem corte éx^{(t+1)} = G\, x^{(t)}.Isso significa que, se no primeiro corte havia x^{(t)}, no próximo corte as quantidades serão dadas por Gx^{(t)}.
Interpretação coluna a coluna (coluna j são frações das árvores da classe j que vão para cada classe no próximo corte):
Coluna 1 de G é \begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]0\end{pmatrix}. Isso significa: de cada árvore que está na classe 1, metade permanece (ou fica) na classe 1 no próximo corte e metade passa para a classe 2. Nenhuma vai diretamente para a classe 3.
Coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\[2pt]\tfrac13\\[2pt]\tfrac23\end{pmatrix}. Isso diz que, de cada árvore que está na classe 2, um terço permanece na classe 2 e dois terços passam à classe 3.
Coluna 3 é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Isso indica que, de cada árvore na classe 3, ela permanece na classe 3 no próximo corte (classe 3 é “absorvente” na dinâmica dada).
Observação importante: as colunas somam 1 (aqui, primeira soma 1, segunda soma 1, terceira soma 1), então não há perda nem ganho de número total de árvores por transição — a mudança é somente de classe. (Isto implica uma dinâmica conservativa de número, só que a massa se concentra na classe 3 porque há fluxo de 1→2→3 e 3 é fixo.)]
Passo 3
Encontrar a distribuição de longo prazo (estado estacionário) de [G).
Procuramos um vetor v não-nulo tal queG\,v = v,ou seja, um autovetor direito com autovalor \lambda=1. Esse vetor mostra a distribuição que não muda quando aplicamos G — a distribuição assintótica sem cortes periódicos.
Escrevendo v=(v_1,v_2,v_3)^T e usando Gv=v obtemos o sistema:\begin{cases} \tfrac12 v_1 = v_1,\\[4pt] \tfrac12 v_1 + \tfrac13 v_2 = v_2,\\[4pt] \tfrac23 v_2 + 1\cdot v_3 = v_3. \end{cases}Vou reescrever cada linha isoladamente (isso vem de Gv\] igual a \(v):
Segunda linha: \tfrac12 v_1 + \tfrac13 v_2 = v_2. Com v_1=0 dá \tfrac13 v_2 = v_2 \Longrightarrow -\tfrac23 v_2 = 0 \Longrightarrow v_2 = 0.
Terceira linha fica \tfrac23 v_2 + v_3 = v_3 que se satisfaz automaticamente com v_2=0 (não impõe nada sobre v_3).
Portanto a solução não-trivial tem v_1=0,\;v_2=0 e v_3 arbitrário positivo. Normalizando para soma 1 (para interpretar como proporção), obtemosv = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Interpretação: sem cortes, ao longo do tempo toda a população acumula-se na classe 3 — a distribuição assintótica é “toda na classe 3”. Isso faz sentido pela estrutura de G: há fluxo irreversível de 1→2→3 e as árvores em 3 permanecem ali.]
Passo 4
Raciocínio econômico: que classe cortar para maximizar rendimento sustentável?
O objetivo é obter o maior rendimento sustentável no longo prazo. Como vimos, sem cortes a população tende a concentrar-se totalmente na classe 3. Isso significa que, em regime estacionário, a maior disponibilidade para corte, de forma constante no tempo, está na classe 3.
Outra forma de ver: a dinâmica envia árvores das classes 1 e 2 para a 3, e uma vez na 3 elas permanecem; portanto, se se quer ter um corte que permita obter receita de forma contínua no longo prazo, o corte que faz sentido é o da classe 3 — é onde a floresta “acumula” árvores e onde haverá sempre recursos para colher.
Além disso, o preço da classe 3 (\$50) é maior do que o da classe 2 (\$30). Então, mesmo sem considerar completamente a dinâmica, biologicamente e economicamente é razoável preferir cortar a classe 3: é a classe em que a população se concentra e tem o maior preço por árvore.
Conclusão lógica: para maximizar o rendimento sustentável convém cortar a classe 3 (a terceira classe).
Passo 5
Cálculo do rendimento ótimo quando existem 100 árvores — interpretação e cálculo numérico.
Interpretação adotada: como a distribuição de longo prazo concentra todas as árvores na classe 3, em regime estacionário (após rotação suficiente) todas as 100 árvores estarão na classe 3. Cortar, de maneira sustentável e repetida com um ciclo apropriado, significa que, na prática, a madeira disponível de forma contínua provém essencialmente de árvores na classe 3.
Se na distribuição estável todas as 100 árvores estão na classe 3 e o preço por árvore na classe 3 é \$50, então o rendimento associado a cortar “a classe 3 inteira” (isto é, colher as árvores disponíveis na classe 3 quando se fizer o corte) vale100 \times 50 = \$5000.
Portanto, o rendimento ótimo (receita obtida quando se realiza o corte da classe 3 com a floresta em regime com 100 árvores) é \$5000.
(Observação interpretativa: essa resposta supõe que, no regime de longo prazo, a operação de corte é feita de modo que, quando quiseres colher, a parcela disponível para corte pertence essencialmente à classe 3 — isto é coerente com a dinâmica de G que concentra a população nessa classe. Em muitos modelos de manejo por classes, o que se aconselha é estabelecer rotações/partições do povoamento para que, ao colher, se retirem árvores maduras da classe 3 sem esgotar o recurso no longo prazo; a aplicação prática exige programar os cortes em períodos/áreas de forma rotativa. Aqui o enunciado pede qual classe cortar e o rendimento ótimo com 100 árvores, e a forma natural de interpretar o problema leva à resposta acima.)
Resposta
Cortar totalmente a terceira classe (classe 3).
Rendimento ótimo com 100 árvores: \$5000.