Em R³, achar uma base ortonormal de complemento ortogonal de
1
3
-5
3
-5
Passo 1
O enunciado fornece o vetor
em
e pede uma base ortonormal do complemento ortogonal de
.
As perguntas implícitas são: encontrar dois vetores unitários tais que
As perguntas implícitas são: encontrar dois vetores unitários
ou seja, uma base ortonormal de
.
Passo 2
Explicando os conceitos (passo a passo, sem pular etapas):
- O produto escalar de dois vetores
e é
- Um vetor
é ortogonal a se e somente se
- Uma base ortonormal do subespaço consiste em vetores mutuamente ortogonais e de norma
. A norma de é . - Método prático: escolher dois vetores independentes que satisfaçam
e aplicar Gram–Schmidt para ortonormalizar.
Passo 3
Encontremos dois vetores não nulos que satisfaçam a equação
. Escolhas simples:
- Tomando
e temos . Assim
- Tomando
e temos . Assim
Verificação rápida (pegando os valores da equação):
e
. Portanto ambos pertencem ao complemento ortogonal. Eles não são múltiplos um do outro, logo são independentes e formam uma base do plano
.
Passo 4
Agora ortonormalizamos
pelo processo de Gram–Schmidt. Relembrando a fórmula:
Definimos
e calculamos seu comprimento:
O primeiro vetor unitário é
Passo 5
Subtraímos a projeção de
sobre
para obter um vetor ortogonal a
:
Calculemos e
:
Calculemos
A projeção é
Portanto
Para simplificar, multiplicamos
por
(o sentido não muda):
. Calculemos a norma de
:
O segundo vetor unitário é então
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
-
e porque construímos a partir de vetores que satisfazem a condição. -
por Gram–Schmidt. -
.