Em R³, achar uma base ortonormal de complemento ortogonal de
1
3
-5

Passo 1

O enunciado fornece o vetor \mathbf{v} = (1,3,-5) em \mathbb{R}^3 e pede uma base ortonormal do complemento ortogonal de \mathbf{v}.
As perguntas implícitas são: encontrar dois vetores unitários \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 tais que
\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{v}=0,\qquad \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{v}=0,\qquad \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=0,
ou seja, uma base ortonormal de \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3:\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}=0\}.

Passo 2

Explicando os conceitos (passo a passo, sem pular etapas):
  • O produto escalar de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Um vetor \mathbf{x}=(x,y,z) é ortogonal a \mathbf{v}=(1,3,-5) se e somente se
\mathbf{x}\cdot\mathbf{v}=x+3y-5z=0.
  • Uma base ortonormal do subespaço consiste em vetores mutuamente ortogonais e de norma 1. A norma de \mathbf{a} é \|\mathbf{a}\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.
  • Método prático: escolher dois vetores independentes que satisfaçam x+3y-5z=0 e aplicar Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 3

Encontremos dois vetores não nulos que satisfaçam a equação x+3y-5z=0. Escolhas simples:
  • Tomando y=1 e z=0 temos x=-3. Assim
\mathbf{u}_1 = (-3,1,0).
  • Tomando y=0 e z=1 temos x=5. Assim
\mathbf{u}_2 = (5,0,1).
Verificação rápida (pegando os valores da equação):
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{v}=-3+3-0=0 e \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{v}=5+0-5=0. Portanto ambos pertencem ao complemento ortogonal. Eles não são múltiplos um do outro, logo são independentes e formam uma base do plano \mathbf{v}^\perp.

Passo 4

Agora ortonormalizamos \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 pelo processo de Gram–Schmidt. Relembrando a fórmula:
\mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\mathbf{a}.
Definimos \mathbf{v}_1=\mathbf{u}_1 e calculamos seu comprimento:
\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{(-3)^2+1^2+0^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
O primeiro vetor unitário é
\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{10}}=\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}},\dfrac{1}{\sqrt{10}},0\right).

Passo 5

Subtraímos a projeção de \mathbf{u}_2 sobre \mathbf{v}_1 para obter um vetor ortogonal a \mathbf{v}_1:
Calculemos \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1:
\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{v}_1 = 5\cdot(-3)+0\cdot1+1\cdot0 = -15, \qquad \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1 = 10.
A projeção é
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}_1}\mathbf{u}_2 = \frac{-15}{10}\mathbf{v}_1 = -\frac{3}{2}\mathbf{v}_1 = \left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2},0\right).
Portanto
\mathbf{v}_2 = \mathbf{u}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{v}_1}\mathbf{u}_2 = \left(5,0,1\right)-\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2},0\right) =\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},1\right).
Para simplificar, multiplicamos \mathbf{v}_2 por 2 (o sentido não muda): 2\mathbf{v}_2=(1,3,2). Calculemos a norma de (1,3,2):
\|(1,3,2)\|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.
O segundo vetor unitário é então
\mathbf{e}_2=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,3,2)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}},\dfrac{3}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}}\right).

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{v}=0 porque construímos a partir de vetores que satisfazem a condição.
  • \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=0 por Gram–Schmidt.
  • \|\mathbf{e}_1\|=\|\mathbf{e}_2\|=1.

Resposta

\displaystyle \mathbf{e}_1=\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}},\dfrac{1}{\sqrt{10}},0\right)
\displaystyle \mathbf{e}_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}},\dfrac{3}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}}\right)

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