Seja W=\{(x-2 y-z, x+2 y-z, x-y-2 z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^{3} um subespaço vetorial. Faça o que se pede a seguir (justifique suas respostas).
Determine um conjunto gerador de W;
Aqui cada parêntese é um vetor em \mathbb{R}^3 e os coeficientes x,y,z são escalares reais.
Explicação didática rápida: escrever o vetor assim significa que todo elemento de W é uma combinação linear dos três vetores (1,1,1), (-2,2,-1) e (-1,-1,-2). Portanto esses três vetores geram W.
Passo 3
Agora justifico a igualdade entre W e o span (conjunto gerador) desses vetores em duas direções:
Todo vetor de W é combinação linear dos três vetores: já mostramos que um vetor arbitrário de W pode ser escrito como
x\,(1,1,1) + y\,(-2,2,-1) + z\,(-1,-1,-2),
logo W \subseteq \operatorname{span}\{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\}.
Toda combinação linear desses três vetores tem a forma (x-2y-z,\;x+2y-z,\;x-y-2z) para alguns x,y,z, portanto \operatorname{span}\{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\}\subseteq W.
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se 4c_2=0\Rightarrow c_2=0. Com c_2=0, das duas primeiras equações segue c_1=c_3, e da terceira c_1-2c_3=0 leva a c_3=0. Logo c_1=c_2=c_3=0, prova de independência. Como são três vetores independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base e portanto W=\mathbb{R}^3. Isso confirma que o conjunto dado gera todo \mathbb{R}^3.]