Seja
W=\{(x-2 y-z, x+2 y-z, x-y-2 z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^{3} um subespaço vetorial. Faça o que se pede a seguir (justifique suas respostas).
Determine um conjunto gerador de W;

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x-2y-z,\;x+2y-z,\;x-y-2z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^3
e pede para determinar um conjunto gerador de W.
Informações relevantes:
  • Um vetor genérico de W tem coordenadas que dependem linearmente de x,y,z.
  • A tarefa é encontrar um conjunto de vetores em \mathbb{R}^3 cujo span (combinações lineares) seja exatamente W.

Passo 2

Vamos reescrever o vetor genérico de W destacando os coeficientes de x, y e z. Tome um vetor qualquer de W:
(x-2y-z,\;x+2y-z,\;x-y-2z).
Agrupando os termos com x, y e z obtemos uma combinação linear:
(x-2y-z,\;x+2y-z,\;x-y-2z) = x\,(1,1,1) + y\,(-2,2,-1) + z\,(-1,-1,-2).
Aqui cada parêntese é um vetor em \mathbb{R}^3 e os coeficientes x,y,z são escalares reais.
Explicação didática rápida: escrever o vetor assim significa que todo elemento de W é uma combinação linear dos três vetores (1,1,1), (-2,2,-1) e (-1,-1,-2). Portanto esses três vetores geram W.

Passo 3

Agora justifico a igualdade entre W e o span (conjunto gerador) desses vetores em duas direções:
  1. Todo vetor de W é combinação linear dos três vetores: já mostramos que um vetor arbitrário de W pode ser escrito como
x\,(1,1,1) + y\,(-2,2,-1) + z\,(-1,-1,-2),
logo W \subseteq \operatorname{span}\{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\}.
  1. Toda combinação linear desses três vetores tem a forma (x-2y-z,\;x+2y-z,\;x-y-2z) para alguns x,y,z, portanto \operatorname{span}\{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\}\subseteq W.
Com isso segue a igualdade
W=\operatorname{span}\{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\},
ou seja, \{(1,1,1),(-2,2,-1),(-1,-1,-2)\} é um conjunto gerador de W.

Passo 4

Comentário adicional (útil na prova): os três vetores acima são linearmente independentes. Uma forma rápida de ver isso é considerar a combinação
c_1(1,1,1)+c_2(-2,2,-1)+c_3(-1,-1,-2)=(0,0,0)
e escrever as três equações coordenada a coordenada:
\begin{cases} c_1-2c_2-c_3=0,\\[4pt] c_1+2c_2-c_3=0,\\[4pt] c_1-c_2-2c_3=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se 4c_2=0\Rightarrow c_2=0. Com c_2=0, das duas primeiras equações segue c_1=c_3, e da terceira c_1-2c_3=0 leva a c_3=0. Logo c_1=c_2=c_3=0, prova de independência. Como são três vetores independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base e portanto W=\mathbb{R}^3. Isso confirma que o conjunto dado gera todo \mathbb{R}^3.]

Resposta

\{(1,1,1),\;(-2,2,-1),\;(-1,-1,-2)\}

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