5* - Em certa instituição de ensino, havia o seguinte critério de aprovação (sendo
a média aritmética das provas mensais),
O estudante que for a exame final passa se sua nota
for
em que
é a nota obtida no exame final. Se não passar neste exame, também poderá ir à segunda época. Será aprovado se a nota
da segunda época for
Qual deve ser a correção das notas para que o estudante que for a exame final não tenha média superior a quem passou direto; e quem for à segunda época não supere quem passou no exame final?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
é a média aritmética das provas mensais. - Critério inicial:
- Se for a exame final, a nota final é
onde é a nota do exame final. Passa-se no exame final se . - Se não passar no exame final (ou quem já tinha
), pode ir à segunda época; nessa segunda época é aprovado se a nota satisfizer .
-
-
O que o enunciado pergunta:
- Determinar uma correção (um ajuste/punção nas notas) de maneira que:
- O estudante que for a exame final não fique com média superior a quem passou direto.
- Quem for à segunda época não fique com nota superior a quem passou no exame final.
- Determinar uma correção (um ajuste/punção nas notas) de maneira que:
Obs.: não é pedido ajustar as médias mensais
dos que passam direto — a ideia é aplicar uma correção às notas resultantes dos exames (isto é, a
do exame final e a
da segunda época) de modo a garantir a ordem desejada entre as categorias.
Passo 2
Traduzindo essas exigências em desigualdades úteis.
-
Desejo 1 (final vs direto): toda pessoa que passou no exame final, após a correção, deve ter nota menor ou igual à nota de quem passou direto. O menor valor possível da nota de quem passou direto é
(porque passa direto quem tem ). Portanto, para garantir a condição para todos os casos, basta impor que a maior nota corrigida possível de quem passou no exame final seja . -
Desejo 2 (segunda época vs exame final): toda pessoa que passou na segunda época, após correção, deve ter nota menor ou igual à nota (corrigida) de quem passou no exame final. Para garantir isso sempre, basta impor que a maior nota corrigida possível na segunda época seja
à menor nota corrigida possível entre os que passam no exame final.
Vamos formalizar: introduzimos duas correções (penalizações) aditivas a subtrair das notas dos exames:
- corte no exame final: subtrair
de , logo nota corrigida do exame final é . - corte na segunda época: subtrair
de , logo nota corrigida da segunda época é .
Queremos escolher
e
(números não negativos) mínimos que satisfaçam as duas condições acima para todo possível caso admissível de notas.
Passo 3
Determinar os extremos (máximos e mínimos) relevantes para
e
, considerando os intervalos de origem das notas.
-
Faixas naturais das notas: normalmente
. Vou usar isso (se na instituição o máximo for outro, procede-se analogamente). -
Para quem vai ao exame final:
e . Assim sendo que o supremo (valor máximo atingível no limite) é(se se aproxima de por baixo e ). - Importante: para passar no exame final é preciso
, então os aprovados por exame têm .
- Importante: para passar no exame final é preciso
-
Para a segunda época: qualquer aluno com
e também quem falhou no exame final pode ir à segunda época; a nota pode estar em e para aprovação na segunda época requer-se . Então os aprovados na segunda época têm .
Passo 4
Impor a primeira condição (final corrigido não superior a quem passou direto) e encontrar
.
- Como argumentado, para garantir que nenhum aluno aprovado no exame final tenha nota corrigida maior que quem passou direto, basta exigir que o maior
possível (entre aprovados no exame final) seja . - O maior
possível entre os aprovados por exame é, em supremum, . - Queremos
. Logo - Para escolher a penalização mínima que assegure a propriedade, pegamos o menor
possível:
Interpretação prática: isto equivale a reduzir a nota do exame final em
ponto; assim a nota máxima corrigida de um aprovado no exame final fica
, exatamente igual ao limite inferior dos que passaram direto.
Passo 5
Impor a segunda condição (segunda época corrigida não superior ao exame final corrigido) e encontrar
em função de
.
- Queremos que toda pessoa aprovada na segunda época, com nota
, após correção não ultrapasse a nota de quem passou no exame final após sua correção. - Para garantir isso para todos os casos, tomamos o pior caso: máximo possível de
contra o mínimo possível de entre aprovados no exame final. - O máximo possível de
é . - O mínimo de
entre aprovados no exame final é . - A condição que precisamos é:
- Rearranjando:
- Substituindo o valor mínimo escolhido anteriormente
: - Tomamos a penalização mínima que satisfaz a condição:
Interpretação prática: reduzir a nota da segunda época em
pontos faz com que a maior nota corrigida possível na segunda época seja
, que é exatamente o menor valor da nota corrigida entre os aprovados no exame final (pois
). Assim, ninguém aprovado na segunda época pode ter nota corrigida acima de alguém aprovado no exame final.
Passo 6
Verificação final (testes dos casos extremos) para garantir que com
e
as ordens ficam corretas.
- Caso extremo para exame final: um aluno com
e tem . Após correção . Isto não ultrapassa a menor nota de quem passou direto ( ); portanto ninguém do exame final fica acima dos que passaram direto. - Entre aprovados no exame final, a menor nota antes de corrigir é
; assim o menor entre aprovados por exame é . - Caso extremo para segunda época:
. Após correção . Assim o maior entre aprovados da segunda época é , que é igual ao menor entre aprovados por exame. Logo, ninguém aprovado na segunda época tem nota corrigida superior a quem passou no exame final. - Portanto as duas condições solicitadas ficam satisfeitas com as penalizações mínimas calculadas.
Resposta
Subtrair
ponto da nota do exame final (ou seja,
).
Subtrair pontos da nota da segunda época (ou seja,
).
Subtrair