5* - Em certa instituição de ensino, havia o seguinte critério de aprovação (sendo M a média aritmética das provas mensais),
\begin{array}{ll} M \geq 7 & \text { Passa direto. } \\\\ 3 \leq M<7 & \text { Vai a exame final. } \\\ M<3 & \text { Vai a segunda época. } \end{array}é
O estudante que for a exame final passa se sua nota N for
N=\frac{M+F}{2} \geq 5
em que F é a nota obtida no exame final. Se não passar neste exame, também poderá ir à segunda época. Será aprovado se a nota S da segunda época for
S \geq 4
Qual deve ser a correção das notas para que o estudante que for a exame final não tenha média superior a quem passou direto; e quem for à segunda época não supere quem passou no exame final?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • M é a média aritmética das provas mensais.
    • Critério inicial: \begin{array}{ll} M \geq 7 & \text{Passa direto.} \\\\ 3 \leq M < 7 & \text{Vai a exame final.} \\\ M < 3 & \text{Vai a segunda época.} \end{array}é
    • Se for a exame final, a nota final é N=\frac{M+F}{2},onde F é a nota do exame final. Passa-se no exame final se N\geq 5.
    • Se não passar no exame final (ou quem já tinha M<3), pode ir à segunda época; nessa segunda época é aprovado se a nota S satisfizer S\geq 4.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar uma correção (um ajuste/punção nas notas) de maneira que:
      1. O estudante que for a exame final não fique com média superior a quem passou direto.
      2. Quem for à segunda época não fique com nota superior a quem passou no exame final.
Obs.: não é pedido ajustar as médias mensais M dos que passam direto — a ideia é aplicar uma correção às notas resultantes dos exames (isto é, a N do exame final e a S da segunda época) de modo a garantir a ordem desejada entre as categorias.

Passo 2

Traduzindo essas exigências em desigualdades úteis.
  • Desejo 1 (final vs direto): toda pessoa que passou no exame final, após a correção, deve ter nota menor ou igual à nota de quem passou direto. O menor valor possível da nota de quem passou direto é 7 (porque passa direto quem tem M\geq7). Portanto, para garantir a condição para todos os casos, basta impor que a maior nota corrigida possível de quem passou no exame final seja \leq 7.
  • Desejo 2 (segunda época vs exame final): toda pessoa que passou na segunda época, após correção, deve ter nota menor ou igual à nota (corrigida) de quem passou no exame final. Para garantir isso sempre, basta impor que a maior nota corrigida possível na segunda época seja \leq à menor nota corrigida possível entre os que passam no exame final.
Vamos formalizar: introduzimos duas correções (penalizações) aditivas a subtrair das notas dos exames:
  • corte no exame final: subtrair c_1 de N, logo nota corrigida do exame final é N' = N - c_1.
  • corte na segunda época: subtrair c_2 de S, logo nota corrigida da segunda época é S' = S - c_2.
Queremos escolher c_1 e c_2 (números não negativos) mínimos que satisfaçam as duas condições acima para todo possível caso admissível de notas.

Passo 3

Determinar os extremos (máximos e mínimos) relevantes para N e S, considerando os intervalos de origem das notas.
  • Faixas naturais das notas: normalmente M,F,S\in[0,10]. Vou usar isso (se na instituição o máximo for outro, procede-se analogamente).
  • Para quem vai ao exame final: M\in[3,7) e F\in[0,10]. Assim
    N=\frac{M+F}{2}\in\left[\frac{3+0}{2},\\ \frac{(7^-)+10}{2}\right)=\left[1{,}5,\\\ 8{,}5\right),
    sendo que o supremo (valor máximo atingível no limite) é 8{,}5=\dfrac{7+10}{2} (se M se aproxima de 7 por baixo e F=10).
    • Importante: para passar no exame final é preciso N\geq 5, então os aprovados por exame têm N\in[5,\,8{,}5).
  • Para a segunda época: qualquer aluno com M<3 e também quem falhou no exame final pode ir à segunda época; a nota S pode estar em [0,10] e para aprovação na segunda época requer-se S\geq4. Então os aprovados na segunda época têm S\in[4,10].

Passo 4

Impor a primeira condição (final corrigido não superior a quem passou direto) e encontrar c_1.
  • Como argumentado, para garantir que nenhum aluno aprovado no exame final tenha nota corrigida maior que quem passou direto, basta exigir que o maior N' possível (entre aprovados no exame final) seja \leq 7.
  • O maior N possível entre os aprovados por exame é, em supremum, N_{\max}=8{,}5.
  • Queremos N_{\max}-c_1 \leq 7. Logo c_1 \geq N_{\max}-7 = 8{,}5-7 = 1{,}5.
  • Para escolher a penalização mínima que assegure a propriedade, pegamos o menor c_1 possível: c_1 = 1{,}5.
Interpretação prática: isto equivale a reduzir a nota do exame final em 1{,}5 ponto; assim a nota máxima corrigida de um aprovado no exame final fica 8{,}5-1{,}5=7, exatamente igual ao limite inferior dos que passaram direto.

Passo 5

Impor a segunda condição (segunda época corrigida não superior ao exame final corrigido) e encontrar c_2 em função de c_1.
  • Queremos que toda pessoa aprovada na segunda época, com nota S\in[4,10], após correção não ultrapasse a nota de quem passou no exame final após sua correção.
  • Para garantir isso para todos os casos, tomamos o pior caso: máximo possível de S contra o mínimo possível de N entre aprovados no exame final.
  • O máximo possível de S é S_{\max}=10.
  • O mínimo de N entre aprovados no exame final é N_{\min}=5.
  • A condição que precisamos é: S_{\max}-c_2 \leq N_{\min}-c_1.
  • Rearranjando: c_2 \geq S_{\max} - (N_{\min}-c_1) = 10 - (5 - c_1) = 5 + c_1.
  • Substituindo o valor mínimo escolhido anteriormente c_1=1{,}5: c_2 \geq 5 + 1{,}5 = 6{,}5.
  • Tomamos a penalização mínima que satisfaz a condição: c_2 = 6{,}5.
Interpretação prática: reduzir a nota da segunda época em 6{,}5 pontos faz com que a maior nota corrigida possível na segunda época seja 10-6{,}5=3{,}5, que é exatamente o menor valor da nota corrigida entre os aprovados no exame final (pois N_{\min}-c_1 = 5-1{,}5=3{,}5). Assim, ninguém aprovado na segunda época pode ter nota corrigida acima de alguém aprovado no exame final.

Passo 6

Verificação final (testes dos casos extremos) para garantir que com c_1=1{,}5 e c_2=6{,}5 as ordens ficam corretas.
  • Caso extremo para exame final: um aluno com M\to7^- e F=10 tem N\to 8{,}5. Após correção N' = 8{,}5 - 1{,}5 = 7. Isto não ultrapassa a menor nota de quem passou direto ( 7); portanto ninguém do exame final fica acima dos que passaram direto.
  • Entre aprovados no exame final, a menor nota antes de corrigir é 5; assim o menor N' entre aprovados por exame é 5 - 1{,}5 = 3{,}5.
  • Caso extremo para segunda época: S_{\max}=10. Após correção S' = 10 - 6{,}5 = 3{,}5. Assim o maior S' entre aprovados da segunda época é 3{,}5, que é igual ao menor N' entre aprovados por exame. Logo, ninguém aprovado na segunda época tem nota corrigida superior a quem passou no exame final.
  • Portanto as duas condições solicitadas ficam satisfeitas com as penalizações mínimas calculadas.

Resposta

Subtrair 1{,}5 ponto da nota do exame final (ou seja, N' = N - 1{,}5).
Subtrair 6{,}5 pontos da nota da segunda época (ou seja, S' = S - 6{,}5).

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