Um médico, durante sua visita diária aos pacientes de um hospital, desconfiou que seu termômetro estava com defeito, pois viu que um enfermo estava com a temperatura de 42^{\circ} \mathrm{C}. Realmente, após usar outros termômetros, constatou que a temperatura correta daquele paciente era 39^{\circ} \mathrm{C}. Observou, também, que sua temperatura era 36^{\circ} \mathrm{C} tanto nos
termômetros corretos como no defeituoso. Como já estava no final da visita e havia tirado a temperatura de vários pacientes, pediu à enfermeira que modificasse, com o uso de certa fórmula, todas as temperaturas medidas até então. Qual foi a fórmula que o médico deu para a enfermeira? Qual é o valor correto para uma temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C} medida com o termômetro defeituoso?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Uma leitura do termômetro defeituoso mostrou 42^\circ\mathrm{C}, e a temperatura correta daquele paciente era 39^\circ\mathrm{C}.
  • Para outra situação, o termômetro defeituoso e os termômetros corretos concordaram em 36^\circ\mathrm{C}.
    O enunciado pede:
  • Encontrar a fórmula que transforma (corrige) todas as temperaturas medidas com o termômetro defeituoso em temperaturas corretas.
  • Usar essa fórmula para obter a temperatura correta quando o termômetro defeituoso marcou 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos introduzir notação e uma suposição mínima que permite resolver o problema de forma direta:
  • Seja T a temperatura verdadeira (a que queremos).
  • Seja T_m a temperatura medida pelo termômetro defeituoso.
    Como só temos duas pontos de calibração, é natural assumir que a relação entre a temperatura verdadeira e a medida é afim (linear com deslocamento). Isto significa que existe constantes a e b tais que, para todo caso,
T_m = a\,T + b.
Explicando: a é um fator de escala (se o termômetro “amplifica” ou “reduz” as variações) e b é um deslocamento constante (um erro sistemático fixo). Com duas leituras conhecidas podemos determinar a e b.

Passo 3

Escrevemos as equações que correspondem às duas calibrações dadas:
  • Para a primeira calibração: quando T=39^\circ\mathrm{C} obteve-se T_m=42^\circ\mathrm{C}. Logo
42 = a\cdot 39 + b.
  • Para a segunda: quando T=36^\circ\mathrm{C} obteve-se T_m=36^\circ\mathrm{C}. Logo
36 = a\cdot 36 + b.

Passo 4

Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar b e achar a:
42 - 36 = a(39 - 36).
Calculando os termos:
6 = a\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{6}{3} = 2.
Interpretação rápida: o termômetro mede variações com dobro da inclinação em relação ao valor verdadeiro (antes do deslocamento).

Passo 5

Agora encontramos b substituindo a=2 em uma das equações (uso a mais simples):
36 = 2\cdot 36 + b \quad\Rightarrow\quad 36 = 72 + b \quad\Rightarrow\quad b = 36 - 72 = -36.
Portanto a relação medida → verdadeira é, por enquanto, escrita como T_m = 2T - 36.

Passo 6

Precisamos da fórmula que converte uma medida T_m no valor verdadeiro T. Invertendo a relação \,T_m = 2T - 36\,:
2T = T_m + 36 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{T_m + 36}{2}.
Esta é a fórmula que o médico pediu à enfermeira: para cada temperatura lida no termômetro defeituoso, somar 36 e dividir por 2 para obter a temperatura correta.

Passo 7

Aplicamos a fórmula ao caso pedido: se o termômetro defeituoso marcou 40^\circ\mathrm{C} (isto é, T_m=40^\circ\mathrm{C}):
T = \frac{40 + 36}{2} = \frac{76}{2} = 38.
Portanto a temperatura correta é 38^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A fórmula de correção é \displaystyle T=\frac{T_m+36}{2}.
Para T_m=40^\circ\mathrm{C}, a temperatura correta é 38^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados