Um médico, durante sua visita diária aos pacientes de um hospital, desconfiou que seu termômetro estava com defeito, pois viu que um enfermo estava com a temperatura de
. Realmente, após usar outros termômetros, constatou que a temperatura correta daquele paciente era
. Observou, também, que sua temperatura era
tanto nos
termômetros corretos como no defeituoso. Como já estava no final da visita e havia tirado a temperatura de vários pacientes, pediu à enfermeira que modificasse, com o uso de certa fórmula, todas as temperaturas medidas até então. Qual foi a fórmula que o médico deu para a enfermeira? Qual é o valor correto para uma temperatura de
medida com o termômetro defeituoso?
termômetros corretos como no defeituoso. Como já estava no final da visita e havia tirado a temperatura de vários pacientes, pediu à enfermeira que modificasse, com o uso de certa fórmula, todas as temperaturas medidas até então. Qual foi a fórmula que o médico deu para a enfermeira? Qual é o valor correto para uma temperatura de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Uma leitura do termômetro defeituoso mostrou
, e a temperatura correta daquele paciente era . - Para outra situação, o termômetro defeituoso e os termômetros corretos concordaram em
.
O enunciado pede: - Encontrar a fórmula que transforma (corrige) todas as temperaturas medidas com o termômetro defeituoso em temperaturas corretas.
- Usar essa fórmula para obter a temperatura correta quando o termômetro defeituoso marcou
.
Passo 2
Vamos introduzir notação e uma suposição mínima que permite resolver o problema de forma direta:
- Seja
a temperatura verdadeira (a que queremos). - Seja
a temperatura medida pelo termômetro defeituoso.
Como só temos duas pontos de calibração, é natural assumir que a relação entre a temperatura verdadeira e a medida é afim (linear com deslocamento). Isto significa que existe constantese tais que, para todo caso,
Explicando:
é um fator de escala (se o termômetro “amplifica” ou “reduz” as variações) e
é um deslocamento constante (um erro sistemático fixo). Com duas leituras conhecidas podemos determinar
e
.
Passo 3
Escrevemos as equações que correspondem às duas calibrações dadas:
- Para a primeira calibração: quando
obteve-se . Logo
- Para a segunda: quando
obteve-se . Logo
Passo 4
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar
e achar
:
Calculando os termos:
Interpretação rápida: o termômetro mede variações com dobro da inclinação em relação ao valor verdadeiro (antes do deslocamento).
Passo 5
Agora encontramos
substituindo
em uma das equações (uso a mais simples):
Portanto a relação medida → verdadeira é, por enquanto, escrita como
.
Passo 6
Precisamos da fórmula que converte uma medida
no valor verdadeiro
. Invertendo a relação
:
Esta é a fórmula que o médico pediu à enfermeira: para cada temperatura lida no termômetro defeituoso, somar
e dividir por
para obter a temperatura correta.
Passo 7
Aplicamos a fórmula ao caso pedido: se o termômetro defeituoso marcou
(isto é,
):
Portanto a temperatura correta é
.
Resposta
A fórmula de correção é
.
Para , a temperatura correta é
.
Para