Alguém decidiu fazer um termômetro de escala X que é oposta à centígrada, ou seja,
\begin{aligned} & \text { água }+ \text { gelo : } 100^{\circ} X \\\ & \text { água }+ \text { vapor : } 0^{\circ} X \end{aligned}áá
Obtenha a relação entre as escalas X e centígrada. Quando a temperi 30^{\circ} \mathrm{C}, qual será a leitura na escala X ?

Passo 1

O enunciado dá duas leituras fixas da escala X em relação à escala centígrada (Celsius). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Informação 1: água + gelo (ponto de fusão) corresponde a 100^\circ X.
  • Informação 2: água + vapor (ponto de ebulição) corresponde a 0^\circ X.
  • Esses pontos, na escala Celsius, são: ponto de fusão =0^\circ C e ponto de ebulição =100^\circ C.
    O enunciado pede:
  1. Obter a relação matemática entre a escala X e a escala centígrada.
  2. Determinar a leitura na escala X quando a temperatura é 30^\circ C.

Passo 2

Raciocínio sobre o tipo de relação que vamos usar (explicando didaticamente).
  • Quando se relacionam duas escalas de temperatura que fixam dois pontos, a relação costuma ser uma transformação afim (linear com deslocamento). Ou seja, podemos escrever uma relação do tipo
T_X = a\,T_C + b,
onde:
  • T_X é a temperatura medida na escala X (em graus X);
  • T_C é a temperatura medida em graus centígrados (Celsius);
  • a é a inclinação (quanto muda T_X quando T_C muda 1 grau);
  • b é o deslocamento (valor de T_X quando T_C=0).
    Explicação intuitiva: duas escalas são determinadas por como alinham dois pontos de referência; com dois pontos escolhemos os coeficientes a e b.

Passo 3

Usar os dados fornecidos para montar o sistema de equações.
  • Do dado 1: para T_C=0 temos T_X=100. Substituindo na forma afim:
100 = a\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b = 100.
  • Do dado 2: para T_C=100 temos T_X=0. Substituindo:
0 = a\cdot 100 + b.
Agora substituo b=100 nessa segunda equação:
0 = 100a + 100.

Passo 4

Resolver para a e escrever a relação final.
  • A partir de 0 = 100a + 100 temos
100a = -100 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
  • Logo a relação entre as escalas é
T_X = -\,T_C + 100.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a escala X é oposta (quando T_C aumenta, T_X diminui) e o coeficiente em módulo 1 mostra que o tamanho do grau é o mesmo; o termo 100 é o deslocamento adequado.

Passo 5

Calcular a leitura na escala X quando T_C=30^\circ C.
  • Substituindo T_C=30 na relação:
T_X = -\,30 + 100 = 70.
Portanto, a leitura será 70^\circ X.

Passo 6

Verificação rápida (auto-checagem) — coerência com os pontos extremos:
  • Para T_C=0: T_X = -0 + 100 = 100^\circ X (bate com o dado).
  • Para T_C=100: T_X = -100 + 100 = 0^\circ X (bate com o dado).
    Isso confirma que a relação e o cálculo estão corretos.

Resposta

T_X = -\,T_C + 100
70^\circ X

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