Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja X o tempo em horas para produzir 15 peças.
(a) Qual a distribuição de X ?
(b) Qual a probabilidade de X>72 ? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
© Qual a probabilidade de 36 ? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma linha de produção onde a produção de peças segue um processo de Poisson. Isso significa que as peças são produzidas de forma aleatória ao longo do tempo, mas com uma taxa média constante. Aqui, a média é de três horas para cada peça. O que a gente quer descobrir é o tempo total, X, que leva para produzir 15 peças. Vamos resolver as três partes da questão usando conceitos de distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição de Poisson e a aproximação pela normal.

Passo 2

Parte (a): Qual a distribuição de X?
Primeiro, vamos entender o que é X. X representa o tempo total para produzir 15 peças. Como a produção segue um processo de Poisson com uma média de três horas por peça, cada peça é produzida seguindo uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 13 peças por hora.
Quando a gente soma várias variáveis aleatórias exponenciais com o mesmo lambda, o resultado segue uma distribuição Gamma. No caso específico onde somamos um número inteiro de variáveis exponenciais, a distribuição é chamada de Erlang.
Então, X é a soma de 15 tempos exponenciais, o que significa que X segue uma distribuição Erlang com parâmetros k = 15 e lambda = 13.
Matematicamente, podemos escrever:
X sim Erlang(k=15, lambda=13)

Passo 3

Parte (b): Qual a probabilidade de X > 72? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
Aqui, a gente precisa calcular a probabilidade de que o tempo para produzir 15 peças seja maior que 72 horas. Como trabalhar diretamente com a distribuição Erlang pode ser complicado, vamos usar uma aproximação normal.
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição Erlang com parâmetros k e lambda, a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) são dados por:
mu = klambda
sigma = raizklambda
Aplicando os valores:
mu = 1513 = 45 horas
sigma = raiz1513 = 3raiz15 approx 11.62 horas
Agora, para usar a aproximação normal, vamos padronizar o valor X = 72:
Z = X - musigma = 72 - 4511.62 approx 2.15
Queremos P(X > 72) = P(Z > 2.15). Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z > 2.15) approx 0.0158 ou 1.58%

Passo 4

Parte ©: Qual a probabilidade de 36 < X < 60? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
Agora, queremos a probabilidade de que o tempo X esteja entre 36 e 60 horas. Vamos usar a mesma aproximação normal que fizemos na parte (b).
Primeiro, padronizamos os valores 36 e 60:
Z1 = 36 - 4511.62 approx -0.77
Z2 = 60 - 4511.62 approx 1.29
Então, queremos P(-0.77 < Z < 1.29). Utilizando a tabela da distribuição normal padrão:
P(Z < 1.29) approx 0.9015
P(Z < -0.77) approx 0.2206
Portanto:
P(-0.77 < Z < 1.29) = 0.9015 - 0.2206 = 0.6809 ou 68.09%

Resposta

(a) X segue uma distribuição Erlang com parâmetros k = 15 e lambda = 13.
(b) P(X > 72) approx 1.58%.
© P(36 < X < 60) approx 68.09%.

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