Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja
o tempo em horas para produzir 15 peças.
(a) Qual a distribuição de
?
(b) Qual a probabilidade de
? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
© Qual a probabilidade de
? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
(a) Qual a distribuição de
(b) Qual a probabilidade de
© Qual a probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma linha de produção onde a produção de peças segue um processo de Poisson. Isso significa que as peças são produzidas de forma aleatória ao longo do tempo, mas com uma taxa média constante. Aqui, a média é de três horas para cada peça. O que a gente quer descobrir é o tempo total,
, que leva para produzir 15 peças. Vamos resolver as três partes da questão usando conceitos de distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição de Poisson e a aproximação pela normal.
Passo 2
Parte (a): Qual a distribuição de
?
Primeiro, vamos entender o que é
.
representa o tempo total para produzir 15 peças. Como a produção segue um processo de Poisson com uma média de três horas por peça, cada peça é produzida seguindo uma distribuição exponencial com parâmetro
peças por hora.
Quando a gente soma várias variáveis aleatórias exponenciais com o mesmo
, o resultado segue uma distribuição Gamma. No caso específico onde somamos um número inteiro de variáveis exponenciais, a distribuição é chamada de Erlang.
Então,
é a soma de 15 tempos exponenciais, o que significa que
segue uma distribuição Erlang com parâmetros
e
.
Matematicamente, podemos escrever:
Passo 3
Parte (b): Qual a probabilidade de
? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
Aqui, a gente precisa calcular a probabilidade de que o tempo para produzir 15 peças seja maior que 72 horas. Como trabalhar diretamente com a distribuição Erlang pode ser complicado, vamos usar uma aproximação normal.
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição Erlang com parâmetros
e
, a média (
) e o desvio padrão (
) são dados por:
Aplicando os valores:
Agora, para usar a aproximação normal, vamos padronizar o valor
:
Queremos
. Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 4
Parte ©: Qual a probabilidade de
? (Utilize a aproximação pela normal na Poisson).
Agora, queremos a probabilidade de que o tempo
esteja entre 36 e 60 horas. Vamos usar a mesma aproximação normal que fizemos na parte (b).
Primeiro, padronizamos os valores 36 e 60:
Então, queremos
. Utilizando a tabela da distribuição normal padrão:
Portanto:
Resposta
(a)
segue uma distribuição Erlang com parâmetros
e
.
(b)
.
©
.