As falhas das unidades centrais de processamento de grandes sistemas computacionais são frequentemente modeladas como um processo de Poisson. Suponha que as unidades de processamento que falham sejam imediatamente reparadas e que o número médio de falhas por hora seja 0,0001 . Seja X o tempo em horas até quatro falhas ocorram nesse sistema.
(a) Qual a distribuição de probabilidade de X ?
(b) Calcule a probabilidade de X ser maior que 40000 horas. (DICA: Utilize a relação dessa variável com a Poisson, tal como feito em aula.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre falhas em unidades de processamento, que estão sendo modeladas por um processo de Poisson. Precisamos descobrir a distribuição de probabilidade do tempo até ocorrerem quatro falhas e, depois, calcular a probabilidade desse tempo ser maior que 40.000 horas. Para isso, vamos usar conceitos de processos de Poisson e distribuições relacionadas como a Erlang.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Ele é usado para modelar eventos que ocorrem de forma aleatória e independente no tempo, como as falhas nas unidades de processamento. A taxa média de falhas por hora é dada por λ = 0,0001.

Passo 3

Queremos encontrar a distribuição de probabilidade do tempo até a quarta falha, que chamamos de X. Em processos de Poisson, o tempo até o k-ésimo evento (neste caso, a quarta falha) segue a distribuição Erlang, que é um caso especial da distribuição gama.

Passo 4

A distribuição Erlang tem dois parâmetros: k (número de eventos, aqui k = 4) e λ (taxa de eventos por unidade de tempo, aqui λ = 0,0001). Então, podemos escrever que:
X sim Erlang(k=4, lambda=0,0001)

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de X ser maior que 40.000 horas, ou seja, $ P(X > 40000) $.

Passo 6

Para encontrar $ P(X > t) $, onde t = 40.000 horas, podemos usar a relação com o processo de Poisson. Essa probabilidade é igual à probabilidade de que ocorram menos de 4 falhas até o tempo t. Matemáticamente:
P(X > t)
Onde $ N(t) $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda t $.

Passo 7

Calculando $ \lambda t $:
lambda t
Então, $ N(40000) \sim Poisson(4) $.

Passo 8

Agora, vamos calcular $ P(N(40000) \leq 3) $, que é a soma das probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2 ou 3 falhas:
P(N(40000) <= 3)

Passo 9

Calculando cada termo:
4^00! = 1
4^11! = 4
4^22! = 162 = 8
4^33! = 646 approx 10,6667
Somando tudo:
1 + 4 + 8 + 10,6667 = 23,6667

Passo 10

Multiplicando pelo $ e^{-4} $:
e^-4

Resposta

A distribuição de probabilidade de $ X $ é uma distribuição Erlang com parâmetros $ k = 4 $ e $ \lambda = 0,0001 $. Além disso, a probabilidade de $ X $ ser maior que 40.000 horas é aproximadamente 43,22 %.

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