O tempo de vida de
(em centenas de horas) de certo tipo de tubo de vácuo possui uma distribuição Weibull com parâmetros
e
. Calcule o seguinte:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tempo de vida $ X $ de certos tubos de vácuo que segue uma distribuição Weibull. Os parâmetros dessa distribuição são $ \delta = 2 $ e $ \beta = 3 $. Precisamos calcular a esperança matemática $ \mathbf{E}(X) $ e a variância $ \mathbf{V}(X) $ dessa distribuição.
Passo 2
Vamos relembrar o que é uma distribuição Weibull. Ela é usada para modelar o tempo até a falha de um produto. Os parâmetros $ \delta $ e $ \beta $ são chamados de parâmetro de escala e parâmetro de forma, respectivamente. A esperança e a variância dessa distribuição podem ser calculadas usando a função gama ($ \Gamma $).
Passo 3
A esperança matemática $ \mathbf{E}(X) $ da distribuição Weibull é dada pela fórmula:
Onde $ \Gamma $ é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais.
Passo 4
Vamos calcular $ \mathbf{E}(X) $ usando os valores fornecidos:
Sabemos que $ \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.8935 $, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância $ \mathbf{V}(X) $. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando $ \Gamma\left(\frac{5}{3}\right) \approx 0.9086 $, então:
Resposta
A esperança matemática é aproximadamente $ \mathbf{E}(X) = 1.787 $ centenas de horas e a variância é $ \mathbf{V}(X) = 0.4412 $ (centenas de horas)
.