Uma certa quantidade de gás ideal está no estado inicial de pressão, volume e temperatura dados, respectivamente, por P_{0}, V_{0} e T_{0}. Este gás é comprimido isobaricamente até que o seu volume se reduza à metade. A seguir, a pressão é aumentada isocoricamente até o dobro de sua pressão inicial.
Considerando a informação, ao final do processo, o gás:
a) volta ao seu estado inicial.
b) apresenta o dobro da temperatura inicial.
c) apresenta o mesmo volume inicial.
d) apresenta a mesma pressão inicial.
e) apresenta a mesma temperatura inicial.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal inicialmente com pressão, volume e temperatura, respectivamente, P_{0}, V_{0} e T_{0}. O gás passa por dois passos: primeiro é comprimido isobaricamente até seu volume reduzir para metade; depois, a pressão é aumentada isocoricamente até o dobro da pressão inicial. A pergunta é: ao final do processo, qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira sobre o estado final do gás?\n\nInformações relevantes listadas: \n- Estado inicial: pressão P_{0}, volume V_{0}, temperatura T_{0}.\n- Passo 1 do processo: compressão isobárica (pressão constante) até V reduzir para metade.\n- Passo 2 do processo: aquecimento/compressão isocórica (volume constante) até a pressão ficar igual a 2P_{0}.\n- Queremos comparar as grandezas finais P, V, T com P_{0}, V_{0}, T_{0} para escolher a alternativa correta.

Passo 2

Ferramenta-chave que vamos usar (a fórmula fundamental para gases ideais): \n PV = nRT
Expliquei isso passo a passo: \n- P é a pressão do gás (unidade por exemplo Pa). \n- V é o volume do gás (m³). \n- n é a quantidade de matéria do gás em mols (assumimos que não muda durante o processo). \n- R é a constante universal dos gases (valor fixo). \n- T é a temperatura absoluta em kelvins (K). \n\nImportante: se o número de mols n e a constante R não mudam, então para comparar estados basta comparar o produto PV com T, porque \dfrac{PV}{nR}=T. Essa relação nos permite calcular como T muda se P e V mudam.

Passo 3

Analisando o estado após a compressão isobárica (passo 1). \n- Como a compressão é isobárica, a pressão permanece igual à inicial: P_{1}=P_{0}. \n- O volume reduz à metade: V_{1}=\dfrac{V_{0}}{2}. \nUsando a lei dos gases para encontrar a nova temperatura T_{1}: \n T_{1}=\dfrac{P_{1}V_{1}}{nR}
Agora substituímos P_{1} e V_{1}: \n T_{1}=\dfrac{P_{0}\cdot \dfrac{V_{0}}{2}}{nR}
Reorganizando (mostrando o cancelamento com o estado inicial): \n T_{1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{P_{0}V_{0}}{nR}=\dfrac{1}{2}T_{0}.
Explicando em palavras: ao manter P constante e reduzir o volume pela metade, a temperatura também fica pela metade.

Passo 4

Agora o segundo passo: aumento isocórico da pressão até 2P_{0}. \n- Isochorico significa volume constante; portanto o volume no segundo passo continua sendo o volume final do primeiro passo: V_{2}=V_{1}=\dfrac{V_{0}}{2}. \n- A pressão final depois deste aumento é P_{2}=2P_{0} (dados do enunciado). \nQueremos a temperatura final T_{2}. Pela lei dos gases: \n T_{2}=\dfrac{P_{2}V_{2}}{nR}
Substituindo P_{2} e V_{2}: \n T_{2}=\dfrac{2P_{0}\cdot \dfrac{V_{0}}{2}}{nR}
Agora simplificamos (observe o 2 que cancela): \n T_{2}=\dfrac{P_{0}V_{0}}{nR}=T_{0}.
Interpretação: aumentando a pressão para o dobro enquanto o volume é metade do inicial, o produto PV volta a ser igual ao produto inicial P_{0}V_{0}, portanto a temperatura final volta a T_{0}.

Passo 5

Comparando estado final com o inicial para escolher a alternativa correta: \n- Pressão final P_{2}=2P_{0}, então não é igual a P_{0} (alternativa (d) está errada). \n- Volume final V_{2}=V_{0}/2, então não é igual a V_{0} (alternativa (c) está errada). \n- Temperatura final T_{2}=T_{0}, ou seja, a mesma temperatura inicial (isso corresponde à alternativa (e)). \n- A alternativa (a) diz que volta ao estado inicial — para isso precisaria voltar P_{0},V_{0},T_{0}; como P e V não voltaram ambos, (a) é falsa. \n- A alternativa (b) diz que apresenta o dobro da temperatura inicial — falso, já demonstramos que T_{2}=T_{0}, não 2T_{0}.

Resposta

e) apresenta a mesma temperatura inicial.

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