Seja um gás diatômico (ar) de calor específico molar a volume constante C_{V}=\frac{5}{2} R, inicialmente à pressão atmosférica e a 27^{\circ} \mathrm{C}. Esse gás encontra-se contido dentro de um calorímetro de volume 24,7 litros e é, então, aquecido, a volume constante, até aumentar sua temperatura em 150^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: p_{a t m}=1,01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} ; R=8,31 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~K}}
Calcule a pressão do gás ao fim do processo.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (lista clara do que o problema dá e pede):
  • O gás é diatômico (ar) com calor específico molar a volume constante C_{V}=\frac{5}{2}R.
  • Volume do calorímetro (volume do gás): V=24,7\\ \mathrm{L}. (Observe que esta informação está no enunciado.)
  • Pressão inicial do gás: p_{1}=p_{atm}=1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}. Vou também escrever em Kelvin pois a leis dos gases usam Kelvin: 27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
  • Aumento de temperatura: 150^\circ\mathrm{C} (que equivale a 150\\ \mathrm{K}).
  • Temperatura final: 27^\circ\mathrm{C}+150^\circ\mathrm{C}=177^\circ\mathrm{C}, ou em Kelvin T_{2}=450\\ \mathrm{K}.
  • O gás é aquecido a volume constante (isto é importante!).
  • O que o problema pede: calcular a pressão do gás ao fim do processo, ou seja p_{2}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A equação dos gases ideais é
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão do gás (em Pa),
  • V é o volume (em m³),
  • n é o número de mols (adimensional),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Importante: se V e n são constantes (o enunciado diz “a volume constante” e assumimos que não entra nem sai massa de gás do calorímetro), então a equação mostra que a pressão é proporcional à temperatura absoluta. Explico: para duas situações do mesmo gás no mesmo volume e com mesma quantidade de mols,
\frac{p_{1}V}{T_{1}}=\frac{p_{2}V}{T_{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}.

Passo 3

Isolando a pressão final e interpretando a relação (passo-a-passo algébrico simples):
  • Da relação \frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}} isolamos p_{2}:
p_{2}=p_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.
  • Aqui cada símbolo significa: p_{1} e T_{1} são pressão e temperatura iniciais; p_{2} e T_{2} são pressão e temperatura finais. Tudo em unidades coerentes (Pa e K).

Passo 4

Substituição dos valores numéricos (mostrando as contas):
  • Temos p_{1}=1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}, T_{1}=300\\ \mathrm{K} e T_{2}=450\\ \mathrm{K}. Então
p_{2}=1,01\times 10^{5}\times\frac{450}{300}.
  • Calcule a razão de temperaturas:
\frac{450}{300}=1,5.
  • Multiplicando:
p_{2}=1,01\times 10^{5}\times 1,5=1,515\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Arredondamento e interpretação do resultado:
  • Baseado nas cifras significativas dos dados (por exemplo p_{1}=1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} tem três algarismos significativos), podemos apresentar p_{2} com três algarismos significativos:
p_{2}\approx 1,52\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação simples: ao aumentar a temperatura em 50\% (de 300\\ \mathrm{K} para 450\\ \mathrm{K}), a pressão também aumenta em 50\%, portanto de 1,01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} para cerca de 1,52\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

\,p_{2}=1,52\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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