Uma certa reação apresenta, à temperatura de 300 K , os valores \Delta H^{o}= -40000,0 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} e \Delta S^{o}=-5,0 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}. Calcule sua constante de equilíbrio nesta temperatura.

Passo 1

O enunciado nos dá os valores, à temperatura de 300\\ \mathrm{K}:
  • \Delta H^{\circ} = -40000{,}0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • \Delta S^{\circ} = -5{,}0\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
O que se pede: calcular a constante de equilíbrio K dessa reação à temperatura T=300\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicadas de maneira clara):
  1. A energia livre padrão de Gibbs relaciona entalpia, entropia e temperatura por
\Delta G^{\circ}=\Delta H^{\circ}-T\Delta S^{\circ}.
Explicação: \Delta G^{\circ} é a variação de energia livre padronizada (J/mol), \Delta H^{\circ} é a variação de entalpia padronizada (J/mol), T é a temperatura absoluta em kelvin (K) e \Delta S^{\circ} é a variação de entropia padronizada (J/K·mol). A fórmula combina a energia ordenada (entalpia) e a contribuição entrópica (desordem) para dar a energia útil disponível àquela temperatura.
  1. A relação entre \Delta G^{\circ} e a constante de equilíbrio K é
\Delta G^{\circ} = -RT\ln K,
onde R é a constante dos gases perfeitos. Explicação: R conecta energia por mol e temperatura; seu valor numérico em unidades compatíveis é
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Isolando K, obtemos
\ln K = -\dfrac{\Delta G^{\circ}}{RT} \qquad\text{e}\qquad K = \exp\!\left(-\dfrac{\Delta G^{\circ}}{RT}\right).
Observação sobre unidades: todas as energias devem estar em joules por mol e a temperatura em kelvin para que as contas batam.

Passo 3

Calcular \Delta G^{\circ} usando \Delta G^{\circ}=\Delta H^{\circ}-T\Delta S^{\circ}.
Colocando os números (note que \Delta S^{\circ} já está em J/K·mol):
\Delta G^{\circ} = -40000{,}0\\\ -\\\ 300\cdot(-5{,}0)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Calcule o produto 300\cdot(-5{,}0):
300\cdot(-5{,}0) = -1500{,}0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Agora faça a subtração:
\Delta G^{\circ} = -40000{,}0 - (-1500{,}0) = -40000{,}0 + 1500{,}0 = -38500{,}0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Portanto \Delta G^{\circ} = -38500{,}0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.

Passo 4

Usar \Delta G^{\circ} = -RT\ln K para obter \ln K.
Calcule RT:
RT = R\cdot T = 8{,}314\cdot 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Agora
\ln K = -\dfrac{\Delta G^{\circ}}{RT} = -\dfrac{-38500{,}0}{2494{,}2} = \dfrac{38500{,}0}{2494{,}2}.
Faça a divisão aproximada (passo a passo mental):
\dfrac{38500{,}0}{2494{,}2}\approx 15{,}436\\ (\text{valor aproximado}).
Logo \ln K \approx 15{,}436.

Passo 5

Calcular K exponenciando:
K = e^{\ln K} = \exp(15{,}436).
Para estimar a exponencial, decomponha \exp(15{,}436)=\exp(15)\cdot\exp(0{,}436).
Sabendo que \exp(15)\approx 3{,}269017\times10^{6} e \exp(0{,}436)\approx 1{,}546, obtemos
K \approx 3{,}269017\times10^{6}\times 1{,}546 \approx 5{,}05\times10^{6}.
Arredondando com três algarismos significativos, fica K \approx 5{,}05\times10^{6}.

Passo 6

Interpretação curta (para motivar): como K é muito maior que 1 ( K\sim 5\times10^{6}), o equilíbrio favorece fortemente os produtos nessa temperatura.

Resposta

K \approx 5{,}05\times10^{6}

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