Uma espécie química se decompõe, por uma reação de primeira ordem, a uma taxa de
à temperatura de
, e a uma taxa de
à temperatura de
. Supondo-se válida a relação
para este sistema, calcule o tempo de meia vida desta espécie à temperatura de
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
- A reação é de primeira ordem, com constante de velocidade
. - À temperatura
a constante é . - À temperatura
a constante é . - A dependência de
com a temperatura obedece à relação
onde
é a energia de ativação,
a constante dos gases e
a temperatura em kelvin.
O que o enunciado pede:
- Calcular o tempo de meia-vida dessa espécie à temperatura
.
Passo 2
Primeiro convierto as temperaturas de graus Celsius para kelvin (porque na equação de Arrhenius a temperatura deve estar em kelvin):
Também fixo a constante dos gases:
Explicação didática rápida: a constante
aparece porque
tem unidades de energia por mol (J·mol^{-1}) e a temperatura em kelvin entra dividindo
na exponencial.
Passo 3
Linearizo a equação de Arrhenius para poder obter
a partir de duas constantes
. Tomando logaritmo natural:
Isto mostra que
é linear em
com inclinação
. Usando os dois pontos
e
obtemos uma expressão para
:
Isolando
:
Explicação didática: usei a forma
e reescrevi para evitar confusões com sinais.
Passo 4
Calculo numérico de
. Primeiro o argumento do logaritmo:
Então
A diferença de recíprocos de temperatura é
Agora:
Comentário didático:
costuma ser expressa em
; o cálculo acima deu cerca de
.
Passo 5
Com
conhecido, calculo
à temperatura
. Uso a forma que evita recalcular
, relacionando
a
:
Substituindo os números:
Logo
Explicação didática: a exponencial cresce com a temperatura; aqui
em
fica entre os valores em
e
, como esperado.
Passo 6
Para uma reação de primeira ordem, a meia-vida
é dada por
Aqui
é apenas o número
e
é a constante na temperatura considerada. Substituindo
:
Convertendo para minutos (opcional):