Uma espécie química se decompõe, por uma reação de primeira ordem, a uma taxa de 2,80 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1} à temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, e a uma taxa de 1,30 \times 10^{-2} \mathrm{~s}^{-1} à temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. Supondo-se válida a relação
k=k_{m} \exp ^{\frac{-E_{a}}{R T}}
para este sistema, calcule o tempo de meia vida desta espécie à temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • A reação é de primeira ordem, com constante de velocidade \;k\;.
  • À temperatura \;30^\circ\mathrm{C} a constante é \;k_1 = 2,80\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • À temperatura \;50^\circ\mathrm{C} a constante é \;k_2 = 1,30\times10^{-2}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • A dependência de k com a temperatura obedece à relação
k = k_{m}\exp\!\left(\frac{-E_a}{R T}\right),
onde E_a é a energia de ativação, R a constante dos gases e T a temperatura em kelvin.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o tempo de meia-vida dessa espécie à temperatura \;40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Primeiro convierto as temperaturas de graus Celsius para kelvin (porque na equação de Arrhenius a temperatura deve estar em kelvin):
T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 303,15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 50^\circ\mathrm{C} = 323,15\\ \mathrm{K}, \qquad T_3 = 40^\circ\mathrm{C} = 313,15\\ \mathrm{K}.
Também fixo a constante dos gases:
R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Explicação didática rápida: a constante R aparece porque E_a tem unidades de energia por mol (J·mol^{-1}) e a temperatura em kelvin entra dividindo E_a na exponencial.

Passo 3

Linearizo a equação de Arrhenius para poder obter E_a a partir de duas constantes k. Tomando logaritmo natural:
\ln k = \ln k_{m} - \frac{E_a}{R}\frac{1}{T}.
Isto mostra que \ln k é linear em 1/T com inclinação -E_a/R. Usando os dois pontos (T_1,k_1) e (T_2,k_2) obtemos uma expressão para E_a:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Isolando E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Explicação didática: usei a forma \ln(k_2)-\ln(k_1)= -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right) e reescrevi para evitar confusões com sinais.

Passo 4

Calculo numérico de E_a. Primeiro o argumento do logaritmo:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{1,30\times10^{-2}}{2,80\times10^{-3}} \approx 4,642857.
Então
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\approx 1,5363.
A diferença de recíprocos de temperatura é
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{303,15}-\frac{1}{323,15}\approx 2,0421\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora:
E_a = 8,314\cdot\frac{1,5363}{2,0421\times10^{-4}}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx 6,30\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 63,0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Comentário didático: E_a costuma ser expressa em \mathrm{kJ\,mol^{-1}}; o cálculo acima deu cerca de 63{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Com E_a conhecido, calculo k à temperatura \;T_3=313,15\\ \mathrm{K}. Uso a forma que evita recalcular k_m, relacionando k_3 a k_1:
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right)= -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_3}\right).
Substituindo os números:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_3}=\frac{1}{303,15}-\frac{1}{313,15}\approx 1,0567\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{E_a}{R}\approx\frac{6,30\times10^{4}}{8,314}\approx 7{,}578\times10^{3}.
\ln\!\left(\frac{k_3}{k_1}\right)\approx 7{,}578\times10^{3}\times 1,0567\times10^{-4}\approx 0,8010.
Logo
k_3 = k_1\exp(0,8010) \approx 2,80\times10^{-3}\times 2,228\approx 6,24\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Explicação didática: a exponencial cresce com a temperatura; aqui k em 40^\circ\mathrm{C} fica entre os valores em 30^\circ e 50^\circ, como esperado.

Passo 6

Para uma reação de primeira ordem, a meia-vida \;t_{1/2}\; é dada por
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Aqui \ln 2 é apenas o número 0,693147\ldots e k é a constante na temperatura considerada. Substituindo k_3:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k_3}=\frac{0,693147}{6,24\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}\approx 1,11\times10^{2}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos (opcional):
1{,}11\times10^{2}\\ \mathrm{s}\approx 1,85\\ \mathrm{min}.

Resposta

t_{1/2}\approx 1,11\times10^{2}\\ \mathrm{s}
t_{1/2}\approx 1,85\\ \mathrm{min}

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