Para uma certa reação de primeira ordem, o tempo necessário para reduzir a concentração inicial do reagente pela metade é de 5000 s à uma temperatura de 325 K e 1000 s a 335 K . Calcule as constantes de velocidade para ambas as temperaturas e determine a respectiva energia de ativação da reação a partir de seus valores.

Passo 1

O enunciado dá duas meias-vidas (tempos para reduzir a concentração inicial pela metade) de uma reação de ordem um, em duas temperaturas diferentes, e pede: (1) as constantes de velocidade em cada temperatura e (2) a energia de ativação da reação obtida a partir desses valores.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
t_{1/2}(T_1)=5000\\ \text{s}\quad\text{à}\quad T_1=325\\ \text{K}à
t_{1/2}(T_2)=1000\\ \text{s}\quad\text{à}\quad T_2=335\\ \text{K}à
Perguntas:
  • Calcular as constantes de velocidade \,k para T_1=325\\ \text{K} e T_2=335\\ \text{K}.
  • Determinar a energia de ativação E_a a partir desses valores.

Passo 2

Fórmula útil para reação de primeira ordem: a meia-vida \,t_{1/2}\, relaciona-se com a constante de velocidade \,k\, por
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Explicando a fórmula de forma mastigada: para reações de primeira ordem a concentração decai exponencialmente [A](t)=[A]_0 e^{-kt}. A meia-vida é o tempo em que [A](t)=\tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo e resolvendo para t t_{1/2}=\ln 2/k. Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aprox. 0,6931).
Isolando k obtemos
k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.

Passo 3

Calculo das constantes usando a fórmula anterior. Primeiro para T_1=325\\ \text{K}:
k_1=\frac{\ln 2}{t_{1/2}(T_1)}=\frac{\ln 2}{5000\\ \text{s}}.
Numérico:
\ln 2\approx 0,693147\quad\Rightarrow\quad k_1=\frac{0,693147}{5000}=0,0001386294\\ \text{s}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
k_1\approx 1,39\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}.
Agora para T_2=335\\ \text{K}:
k_2=\frac{\ln 2}{t_{1/2}(T_2)}=\frac{\ln 2}{1000\\ \text{s}}=\frac{0,693147}{1000}=0,000693147\\ \text{s}^{-1},
ou seja
k_2\approx 6,93\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}.
Observação útil: como t_{1/2} caiu de 5000 para 1000 (fator 5), a constante k aumenta por um fator 5, o que confirma k_2/k_1=5.

Passo 4

Agora vamos ao método para obter E_a. Usamos a equação de Arrhenius:
k=A\,e^{-E_a/(R\,T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui em \text{s}^{-1}),
  • A é o fator pré-exponencial (constante da reação),
  • E_a é a energia de ativação (em \text{J}\,\text{mol}^{-1}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln k=\ln A -\frac{E_a}{R\,T}.
Subtraindo as expressões para as duas temperaturas elimina \ln A:
\ln k_2-\ln k_1=-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Rearranjando para E_a:
E_a=R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{(1/T_1)-(1/T_2)}.
Expliquei a escolha: essa forma usa apenas k_1,k_2,T_1,T_2 e evita precisar conhecer A. É a maneira padrão e direta quando temos taxas a duas temperaturas.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula numérica. Já temos k_1 e k_2. Calculamos os termos necessários passo a passo.
Primeiro o logaritmo da razão:
\frac{k_2}{k_1}=5 \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\ln 5\approx 1,609438.
Agora o termo em temperaturas:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{325}-\frac{1}{335}=\frac{335-325}{325\cdot 335}=\frac{10}{108875}\approx 9,188\times 10^{-5}\\ \text{K}^{-1}.
Constante dos gases:
R=8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
Agora substituímos na expressão de E_a:
E_a=R\;\frac{\ln 5}{(1/325)-(1/335)}.
Numericamente:
E_a=8,314\times\frac{1,609438}{9,188\times 10^{-5}}\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}.
Calcule o numerador primeiro:
8,314\times 1,609438\approx 13,38\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}.
Dividindo:
E_a\approx\frac{13,38}{9,188\times 10^{-5}}\approx 1,456\times 10^{5}\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}.
Convertendo para kJ/mol (mais comum):
E_a\approx 146\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}.
Interpretação curta: esse é um valor típico de energia de ativação para reações químicas moderadamente rápidas — só para você ter um parâmetro de escala.

Passo 6

Resumo dos resultados importantes (já calculados passo a passo). Estou confiante nesses números porque usei a relação exata k=\ln 2/t_{1/2} e a forma de Arrhenius para duas temperaturas; os arredondamentos são pequenos e apropriados para uma prova.

Resposta

k(325\\ \text{K})\approx 1,39\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}
k(335\\ \text{K})\approx 6,93\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}
E_a\approx 1,46\times 10^{5}\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\;( \approx 146\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1})

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