Para uma certa reação de primeira ordem, o tempo necessário para reduzir a concentração inicial do reagente pela metade é de 5000 s à uma temperatura de 325 K e 1000 s a 335 K . Calcule as constantes de velocidade para ambas as temperaturas e determine a respectiva energia de ativação da reação a partir de seus valores.
Passo 1
O enunciado dá duas meias-vidas (tempos para reduzir a concentração inicial pela metade) de uma reação de ordem um, em duas temperaturas diferentes, e pede: (1) as constantes de velocidade em cada temperatura e (2) a energia de ativação da reação obtida a partir desses valores.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
Perguntas:
- Calcular as constantes de velocidade
para e . - Determinar a energia de ativação
a partir desses valores.
Passo 2
Fórmula útil para reação de primeira ordem: a meia-vida
relaciona-se com a constante de velocidade
por
Explicando a fórmula de forma mastigada: para reações de primeira ordem a concentração decai exponencialmente
. A meia-vida é o tempo em que
. Substituindo e resolvendo para
dá
. Aqui
é o logaritmo natural de
(aprox.
).
Isolando
obtemos
Passo 3
Calculo das constantes usando a fórmula anterior. Primeiro para
:
Numérico:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Agora para
:
ou seja
Observação útil: como
caiu de
para
(fator 5), a constante
aumenta por um fator 5, o que confirma
.
Passo 4
Agora vamos ao método para obter
. Usamos a equação de Arrhenius:
onde:
-
é a constante de velocidade (aqui em ), -
é o fator pré-exponencial (constante da reação), -
é a energia de ativação (em ), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (em K).
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Subtraindo as expressões para as duas temperaturas elimina
:
Rearranjando para
:
Expliquei a escolha: essa forma usa apenas
e evita precisar conhecer
. É a maneira padrão e direta quando temos taxas a duas temperaturas.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula numérica. Já temos
e
. Calculamos os termos necessários passo a passo.
Primeiro o logaritmo da razão:
Agora o termo em temperaturas:
Constante dos gases:
Agora substituímos na expressão de
:
Numericamente:
Calcule o numerador primeiro:
Dividindo:
Convertendo para kJ/mol (mais comum):
Interpretação curta: esse é um valor típico de energia de ativação para reações químicas moderadamente rápidas — só para você ter um parâmetro de escala.
Passo 6
Resumo dos resultados importantes (já calculados passo a passo). Estou confiante nesses números porque usei a relação exata
e a forma de Arrhenius para duas temperaturas; os arredondamentos são pequenos e apropriados para uma prova.