4- a) Em uma certa região do espaço livre (vácuo), o campo elétrico vale \mathbf{E}(\mathbf{t}) =\mathrm{E}_{0} \cos (\omega \mathrm{t}-\beta \mathrm{x}) \mathbf{k}. Obtenha o campo magnético \mathbf{B} nessa região, usando a equação de Maxwell conveniente.
b) Escreva a definição do vetor de Poynting e o que ele significa.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico que descreve uma onda plana no vácuo,
\mathbf{E}(x,t)=E_{0}\cos\bigl(\omega t-\beta x\bigr)\,\mathbf{k},
e pede para obter o campo magnético \mathbf{B} usando uma das equações de Maxwell em região livre. Em seguida, solicita a definição do vetor de Poynting e seu significado físico. Vamos usar a lei de Faraday ( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}) para encontrar \mathbf{B} e depois definir o vetor de Poynting.

Passo 2

Calcule \nabla \times \mathbf{E}. Em coordenadas cartesianas, com \mathbf{E}=E_{z}(x,t)\,\mathbf{k}, tem-se
\nabla \times \mathbf{E} =\bigl(\partial_{x}E_{z}\bigr)\,\mathbf{j} = \bigl[-E_{0}\,\beta\sin(\omega t-\beta x)\bigr](-1)\,\mathbf{j} =E_{0}\,\beta\sin(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Use Faraday:
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} =-E_{0}\,\beta\sin(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.
Integrando em t,
\mathbf{B}(x,t) =\int -E_{0}\,\beta\sin(\omega t-\beta x)\,dt\;\mathbf{j} =\frac{E_{0}\,\beta}{\omega}\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}+f(x).
Para uma onda viajando no sentido + x e satisfazer Ampère–Maxwell, ajusta-se o sinal de modo que \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponte em + x, o que leva a
\mathbf{B}(x,t)=-\frac{E_{0}\,\beta}{\omega}\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Reconhecendo que, no vácuo, \beta=\omega/c, obtemos a forma final
\mathbf{B}(x,t) =-\frac{E_{0}}{c}\,\cos\bigl(\omega t-\beta x\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 5

O vetor de Poynting \mathbf{S} é definido por
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Fisicamente, \mathbf{S} representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética, ou seja, a potência transportada pela onda por unidade de área, apontando na direção de propagação.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=-\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(\omega t-\beta x\bigr)\,\mathbf{j}.
(b) \displaystyle \mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}, que é a densidade de fluxo de energia eletromagnética (potência por área).

Exercícios relacionados